« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions

 
Puisque 3 est racine double et 2 racine simple de <math>\operatorname{pgcd}(P,P')</math>, 3 est racine triple et 2 racine double de <math>P</math>, donc (comme <math>P</math> est unitaire et de degré 5) <math>P(X)=(X-3)^3(X-2)^2</math>.
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==Exercice 1-13==
Trouver <math>a</math> tel que les racines de <math>X^4+X^3+aX^2+3X+2</math> vérifient <math>x_1+x_2=x_3x_4</math>. Résoudre alors la ou les équation(s) obtenue(s).
{{Solution|contenu=
<math>X^4+X^3+aX^2+3X+2=(X^2-\lambda X+\alpha)(X^2-\beta X+\lambda)\Leftrightarrow\beta=-\lambda-1,\alpha=\frac2\lambda,a=-\lambda^2+\frac2\lambda=1</math> donc la seule solution est <math>a=1</math>, et l'on peut alors choisir <math>\lambda=1</math>, ce qui donne <math>X^4+X^3+aX^2+3X+2=(X^2-X+2)(X^2+2X+1)=(X^2-X+2)(X+1)^2</math>.
}}
 
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