« Application linéaire/Exercices/Noyau et image » : différence entre les versions
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f_4 : P \in \R_3[X]\mapsto P'\in \R_2[X],\\
f_5 : P \in \R_3[X]\mapsto (P(-1),P(0),P(1)) \in \R^3, &\qquad
f_6 : P \in \R[X]\mapsto P-(X-2) P'\in \R[X]
f_7: P \in \R_n[X]\mapsto P-\frac X2P'\in \R_n[X].
\end{matrix}</math>
Pour celles qui le sont, déterminer le noyau et l'image et en déduire si l'application est injective, surjective, bijective.
{{Solution|contenu=
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<math>f_6</math> n'est ni injective, ni surjective : son noyau est la droite engendrée par <math>X-2</math> (on le trouve en résolvant une [[Équation différentielle/Équation différentielle linéaire du premier ordre#Cas général : équations à coefficients variables|équation différentielle linéaire du premier ordre]] très simple) et son image est l'[[w:Hyperplan|hyperplan]] des polynômes <math>Q</math> tels que <math>Q'(2)=0</math> (en effet, si <math>Q=P-(X-2)P'</math> alors <math>Q'=-(X-2)P''</math> s'annule en 2 et réciproquement, si <math>Q'(2)=0</math> alors, soit <math>C</math> un polynôme tel que <math>Q'=-(X-2)C'</math> et soit <math>P=Q+(X-2)C</math>, on a <math>P'=C</math> donc <math>Q=P-(X-2)P'</math>).
<math>f_7</math> n'est ni injective, ni surjective (sauf si <math>n\le1</math>) : <math>f_7(X^k)=(1-k/2)X^k</math> donc <math>\ker f_7</math> est la droite engendrée par <math>X^2</math> et <math>\operatorname{im} f_7=\operatorname{Vect}(1,X,X^3,\dots,X^n)</math>.
}}
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