« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions

{{Solution|contenu=
<math>X^4+X^3+aX^2+3X+2=(X^2-\lambda X+\alpha)(X^2-\beta X+\lambda)\Leftrightarrow\beta=-\lambda-1,\alpha=\frac2\lambda,a=-\lambda^2+\frac2\lambda=1</math> donc la seule solution est <math>a=1</math>, et l'on peut alors choisir <math>\lambda=1</math>, ce qui donne <math>X^4+X^3+aX^2+3X+2=(X^2-X+2)(X^2+2X+1)=(X^2-X+2)(X+1)^2</math>.
}}
 
==Exercice 1-14==
#Décomposer le polynôme <math>P:=X^4+12X-5</math> en produit de deux polynômes du second degré sachant qu'il admet deux racines <math>a</math> et <math>b</math> telles que <math>a+b=2</math>.
#Quelles sont les valeurs de <math>a</math> et <math>b</math> ?
#Donner la décomposition en facteurs irréductibles de <math>P</math> dans <math>\R[X]</math>.
{{Solution|contenu=
#<math>P=(X^2-2X+r)(X^2+pX+q)</math>. En développant et en identifiant, on obtient un système de 4 équations en les 3 inconnues <math>p,q,r</math> : <math>p-2=r-2p+q=0</math>, <math>pr-2q=12</math> et <math>rq=-5</math>. La solution (au demeurant unique) est <math>(p,q,r)=(2,-1,5)</math>, donc <math>P=(X^2-2X+5)(X^2+2X-1)</math>.
#<math>a,b=1\pm2\mathrm i</math>.
#<math>P=(X^2-2X+5)(X+1+\sqrt2)(X+1-\sqrt2)</math>.
}}
 
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