« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions

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{{Solution|contenu=
L'unique solution est <math>A=-\sum_{k=0}^n\frac{X^n}{n!}</math> et seul <math>0</math> pourrait éventuellement être racine multiple d'un tel polynôme, or <math>A(0)=1</math>.
}}
Soit <math>n\in\N^*</math>. Déterminer <math>a</math>, <math>b</math> et <math>c</math> de manière que <math>P:=aX^{n+1}+bX^n+c</math> soit divisible par <math>(X-1)^2</math>. La racine 1 peut-elle être triple ?
{{Solution|contenu=
<math>P(1)=P'(1)=0\Leftrightarrow a+b+c=(n+1)a+nb=0\Leftrightarrow a=nc,\;b=-(1+n)c</math>. Alors, <math>P''(1)=nc(n+1)n-(1+n)cn(n-1)=n(n+1)c\ne0</math> (sauf bien sûr si <math>P=0</math>).
}}
 
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