« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions

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:<math>P'_n(\mathrm j)=(6n+1)\left(\left(-\mathrm j^2\right)^{6n}-\mathrm j^{6n}\right)=(6n+1)(1-1)=0</math>.
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#Montrer que le reste de la division euclidienne d'un polynôme <math>P</math> par <math>X^2+pX+q</math> s'obtient en remplaçant <math>X^2</math> par <math>-pX-q</math> autant de fois que cela est possible dans le polynôme <math>P</math>.
#Pour quelles valeurs de l'entier <math>n</math> le polynôme <math>X^3+1</math> divise-t-il le polynôme <math>X^{3n}+1</math> ?
#Montrer que <math>(X-1)^{n+2}+X^{2n+1}</math> est divisible par <math>X^2-X+1</math>.
#Pour quels triplets <math>(s,t,u)\in\N^3</math> le polynôme <math>X^{3s}-X^{3t+1}+X^{3u+2}</math> est-il divisible par <math>X^2-X+1</math> ?
{{Solution|contenu=
#Soient <math>X^3+1Q,R</math> ales 3quotient racineset simplesreste :de cette division euclidienne, alors <math>P-1(X^2+pX+q)A=(Q-A)(X^2+pX+q)+R</math>, donc chaque remplacement de <math>-\mathrm jX^2</math> etpar <math>-\bar{\mathrm j}pX-q</math>. Ilchange divisele doncquotient <math>X^{3n}+1</math>mais sipas etle seulementreste. siQuand <math>(-1)^{3n}+1=0</math>on etne <math>(-\mathrmpeut plus j)^{3n}+1=0</math>rien remplacer, [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]]'est que le polynôme obtenu est de sidegré <math>n\le1</math>, estdonc égal à son impairreste.
#<math>X^3+1</math> a 3 racines simples : <math>-1</math>, <math>-\mathrm j</math> et <math>-\bar{\mathrm j}</math>. Il divise donc <math>X^{3n}+1</math> si et seulement si <math>(-1)^{3n}+1=0</math> et <math>(-\mathrm j)^{3n}+1=0</math>, [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] si <math>n</math> est impair.<br>Autre méthode : <math>X^3+1</math> divise <math>X^{3n}+1</math> si et seulement si <math>X+1</math> et <math>X^2-X+1</math> le divisent. La première condition équivaut à <math>n</math> impair, et la seconde est stable par parité, car le reste ne change pas quand on remplace <math>n</math> par <math>n-2</math>, car d'après la question précédente, <math>X^{3n}+1=X^{3n-6}(X^2)^3+1</math> a même reste que <math>X^{3n-6}(X-1)^3+1</math>, donc que <math>X^{3n-6}((X-3)(X-1)+3X-1)+1=X^{3n-6}(X^2-X+2)+1</math>, donc que <math>X^{3n-6}(X-1-X+2)+1=X^{3(n-2)}+1</math>. On se ramène ainsi au cas <math>n=1</math>, qui est trivial.
#<math>X^2-X+1=\frac{X^3+1}{X+1}</math> a 2 racines simples : <math>-\mathrm j</math> et <math>-\bar{\mathrm j}</math>, et <math>(-\mathrm j-1)^{n+2}+(-\mathrm j)^{2n+1}=(\mathrm j^2)^{n+2}-\mathrm j^{2n+1}=\mathrm j^{2n+1}\left(\mathrm j^3-1\right)=0</math>.<br>Autre méthode : d'après la question 1, le reste euclidien de <math>(X-1)^{n+2}+X^{2n+1}</math> par <math>X^2-X+1</math> est le même que celui de <math>(X-1)^{n+2}+X(X-1)^n=(X-1)^n(X^2-X+1)</math>, donc est nul.
#<math>(-\mathrm j)^{3s}-(-\mathrm j)^{3t+1}+(-\mathrm j)^{3u+2}=(-1)^s+(-1)^t\mathrm j+(-1)^u\mathrm j^2=0</math> si et seulement si <math>s,t,u</math> sont de même parité.
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