« Polynôme/Exercices/Polynômes à coefficients entiers » : différence entre les versions
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==Exercice 4-3==
Soit <math>P=\sum_{i=0}^na_iX^i</math> un polynôme à coefficients entiers. Soit <math>\frac pq</math> un racine rationnelle de <math>P</math>, écrite sous forme irréductible.
#Montrer que <math>qX-p\mid P</math>. #En déduire que <math>p\mid a_0</math> et <math>q\mid a_n</math>. #En déduire qu'une racine rationnelle d'un polynôme unitaire à coefficients entiers est nécessairement entière. {{Solution|contenu=
#Dans <math>\Q[X]</math>, <math>X-\frac pq\mid P</math> donc <math>qX-p\mid P</math>.
{{en cours}} [https://webusers.imj-prg.fr/~emmanuel.lepage/TD/MM002/2015/sol3.pdf exo 12]
<math>0=q^nP(p/q)=a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}q+\dots+a_1pq^{n-1}+a_0q^n</math> donc :
*<math>p\mid-p(a_np^{n-1}+a_{n-1}p^{n-2}q+\dots+a_1q^{n-1})=a_0q^n</math> et
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