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« Polynôme/Exercices/Polynômes à coefficients entiers » : différence entre les versions

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==Exercice 4-3==
Soit <math>P=\sum_{i=0}^na_iX^i</math> un polynôme à coefficients entiers. Soit <math>\frac pq</math> un(<math>p\in\Z</math>, <math>q\in\N^*</math>) une racine rationnelle de <math>P</math>, écrite sous forme irréductible.
#Montrer que <math>qX-p\mid P</math>.
#En déduire que <math>p\mid a_0</math> et <math>q\mid a_n</math>.
#En déduire qu'une racine rationnelle d'un polynôme unitaire à coefficients entiers est nécessairement entière.
#DansDéduire <math>\Q[X]</math>,du 1. que <math>Xp-\frac pqq\mid P(1)</math> doncet <math>qX-p+q\mid P(-1)</math>.▼
{{Solution|contenu=
#Dans <math>\Q[X]</math>, <math>X-\frac pq\mid P</math> donc <math>qX-p\mid P</math>. Comme <math>p</math> et <math>q</math> sont premiers entre eux, <math>P</math> est donc divisible par <math>qX-p\mid P</math> non seulement dans <math>\Q[X]</math> mais même dans <math>\Z[X]</math> (en effet <math>Q:=\frac{P(X)}{qX-p}=\sum_{i=0}^{n-1}b_iX^i</math> avec, puisque <math>a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}q+\dots+a_1pq^{n-1}+a_0q^n=q^nP(p/q)=0</math> :<br><math>b_i=\frac{a_{i+1}q^{n-i-1}+a_{i+2}q^{n-i-2}p+\dots+a_{n-1}qp^{n-i-2}+a_np^{n-i-1}}{q^{n-i}}=-\frac{a_0q^i+a_1q^{i-1}p+\dots+a_ip^i}{p^{i+1}}\in\Z</math> d'après le [[Arithmétique/Théorèmes de Bézout et Gauss|lemme de Gauss]].<br>Pour un argument plus général, voir [[w:Anneau factoriel#Anneaux des polynômes|Contenu d'un polynôme]]).
▲#Dans <math>\Q[X]</math>, <math>X-\frac pq\mid P</math> donc <math>qX-p\mid P</math>.
#Le terme constant et le coefficient dominant de <math>P=(qX-p)Q</math> sont respectivement <math>a_0=-pb_0</math> et <math>a_n=qb_{n-1}</math>.
 
#Si de plus <math>a_n=1</math>, alors <math>q=1</math>.▼
{{en cours}} [https://webusers.imj-prg.fr/~emmanuel.lepage/TD/MM002/2015/sol3.pdf exo 12]
#<math>P(1)=(q-p)Q(1)</math> et <math>P(-1)=(q+p)Q(-1)</math>.
 
Référence : exercice 12 de {{Lien web|url=https://webusers.imj-prg.fr/~emmanuel.lepage/TD/MM002/2015/sol3.pdf|titre=|auteur=Emmanuel Lepage|titre=M1, Algèbre et théorie de Galois, TD n° 3, Solutions|site=[[w:Institut de mathématiques de Jussieu – Paris Rive Gauche|webusers.imj-prg.fr]]|date=2015}}.
<math>0=q^nP(p/q)=a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}q+\dots+a_1pq^{n-1}+a_0q^n</math> donc :
*<math>p\mid-p(a_np^{n-1}+a_{n-1}p^{n-2}q+\dots+a_1q^{n-1})=a_0q^n</math> et
*<math>q\mid-q(a_{n-1}p^{n-1}+\dots+a_1pq^{n-2}+a_0q^{n-1})=a_np^n</math>.
 
Du fait que pgcd(p,q) = 1 et par le [[Arithmétique/Théorèmes de Bézout et Gauss|lemme de Gauss]], on en déduit :
:<math>p</math> est premier avec <math>q^n</math> et divise <math>a_0q^n</math>, donc il divise <math>a_0</math>.
 
De même :
:<math>q</math> est premier avec <math>p^n</math> et divise <math>a_np^n</math>, donc il divise <math>a_n</math>.
 
▲Si de plus <math>a_n=1</math>, alors <math>q=1</math>.
}}
 
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