« Polynôme/Exercices/Polynômes à coefficients entiers » : différence entre les versions

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#<math>P(1)=(q-p)Q(1)</math> et <math>P(-1)=(q+p)Q(-1)</math>.
#<math>qm_1-p</math> et <math>qm_2-p</math> sont tous deux égaux à <math>\pm1</math> et distincts, donc opposés.<br><math>qm_1-p=-qm_2+p\Leftrightarrow\frac pq=\frac{m_1+m_2}2</math>, et <math>qm_1-p=-qm_2+p=\pm1\Rightarrow|m_1-m_2|=\frac2q\le2</math>.
Référence pour les questions 1 à 4 : exercice 12 de {{Lien web|url=https://webusers.imj-prg.fr/~emmanuel.lepage/TD/MM002/2015/sol3.pdf|titre=|auteur=Emmanuel Lepage|titre=M1, Algèbre et théorie de Galois, TD n° 3, Solutions|site=[[w:Institut de mathématiques de Jussieu – Paris Rive Gauche|webusers.imj-prg.fr]]|date=2015}}.
}}
 
#Le polynôme <math>P(X):=X^3+X+1</math> est-il irréductible dans <math>\C[X]</math> ? dans <math>\R[X]</math> ? dans <math>\Q[X]</math> ?
#Et le polynôme <math>PQ(X):=X^3-X-1</math> ?
#Et le polynôme <math>PR(X):=X^3-X^2-2</math> ?
{{Solution|contenu=
#<math>P</math> est scindé dans <math>\C[X]</math>. Il a au moins une racine réelle. Il est irréductible dans <math>\Q[X]</math> car il est de degré 3 sans racine rationnelle car d'après le critère précédent, les seules éventuelles racines rationnelles sont <math>\pm1</math>, or <math>P(1)=3</math> et <math>P(-1)=-1</math>.
#Mêmes réponses que pour le polynôme précédent<math>P</math>. Les seules éventuelles racines rationnelles sont <math>\pm1</math>, or <math>P(1)=P(-1)=-1</math>.
#Mêmes réponses que pour les<math>P</math> polynômeset précédents<math>Q</math>. Les seules éventuelles racines rationnelles sont <math>\pm1</math> et <math>\pm2</math>, et l'on vérifie que ces quatre nombres ne sont pas racines.
}}
 
Décomposer en produits de facteurs irréductibles dans <math>\Q[X]</math> les polynômes suivants :
Et le polynôme <math>P(X):=X^3-X-1</math> ?
:<math>P_1(X)=3X^3-2X^2-2X-5</math>, <math>P_2(X)=6X^4+19X^3-7X^2-26X+12</math>, <math>P_3(X)=X^6+2X^4-X^3+3X^2+1</math>.
{{Solution|contenu=
On trouve facilement les racines rationnelles de ces trois polynômes grâce à la condition nécessaire ci-dessus (<math>p\mid a_0</math> et <math>q\mid a_n</math>) : 5/3 pour <math>P_1</math>, 1/2 et –3 pour <math>P_2</math> et aucune pour <math>P_3</math>.
Mêmes réponses que pour le polynôme précédent. Les seules éventuelles racines rationnelles sont <math>\pm1</math>, or <math>P(1)=P(-1)=-1</math>.
}}
 
<math>P_1(X)=(3X-5)(X^2+X+1)</math> et <math>X^2+X+1</math> est irréductible sur <math>\Q</math> (et même sur <math>\R</math>).
Et le polynôme <math>P(X):=X^3-X^2-2</math> ?
 
{{Solution|contenu=
<math>P_2(X)=(2X-1)(X+3)(3X^2+2X-4)</math> et <math>3X^2+2X-4</math> est irréductible sur <math>\Q</math>.
Mêmes réponses que pour les polynômes précédents. Les seules éventuelles racines rationnelles sont <math>\pm1</math> et <math>\pm2</math>, et l'on vérifie que ces quatre nombres ne sont pas racines.
 
<math>P_3</math> est irréductible sur <math>\Q</math>. En effet, comme il est unitaire, il serait sinon réductible sur <math>\Z</math>. Or une étude de variations montre rapidement que sur <math>\R</math>, <math>P_3</math> est strictement positif (de minimum <math>P_3(0)=1</math>) donc produit de trois polynômes irréductibles de degré 2. Aucun d'eux n'est à coefficients entiers, sinon on aurait <math>P_3(X)=(X^2+aX+b)(X^4-aX^3+cX^2-aX+b)</math> avec <math>a,c\in\Z,b=\pm1,b+c-a^2=2,a(c-b-1)=-1,b-a^2+bc=3</math>, ce qui implique <math>a=\pm1</math> et <math>3-b=c=4b-1</math> donc <math>4=5b=\pm5</math>, absurde.
}}
 
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