« Polynôme/Exercices/Polynôme dérivé » : différence entre les versions
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Ligne 13 :
On constate rapidement que le polynôme nul est solution et que les polynômes constants non nuls ne le sont pas.
Si un polynôme <math>P</math> de degré <math>n\ge1</math> est divisible par <math>P'</math> alors (par comparaison des degrés et coefficients dominants de <math>P</math> et <math>P'</math>) il existe <math>\alpha\in\C</math> tel que <math>P(X)=\frac{X-\alpha}nP'(X)</math>
Autre méthode si <math>n\ge2</math> (le cas <math>n=1</math> étant trivial) : soient <math>\alpha_1,\dots,\alpha_k</math> les racines de <math>P'</math> dans <math>\C</math>, de multiplicités <math>n_1,\dots,n_k</math> avec <math>\sum n_i=n-1</math>. Alors les <math>\alpha_i</math> sont racines de <math>P</math> avec multiplicités <math>n_i+1</math>, donc <math>n\geq\sum(n_i+1)=n-1+k</math>, donc <math>k=1</math> et <math>n_1=n-1</math> donc <math>P'</math> est de la forme <math>n\lambda(X-\alpha)^{n-1}</math>, donc <math>P=\lambda(X-\alpha)^n+c</math>, et <math>c=P(a)=0</math> puisque <math>P'(a)=0</math>.
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