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== Exercice 1-4 ==
Soit <math>P\in\R[X]</math> tel que <math>\forall x\in\R\quad P(x)\ge0</math>. Montrer qu'il existeque <math>A,B\in\R[X]P</math> telsest quesomme de <math>P=A^2+B^2</math>deux carrés de polynômes réels.
{{Wikipédia|Dix-septième problème de Hilbert}}
{{Solution|titre=Indication|contenu=On pourra chercher à factoriser <math>P</math> dans <math>\Complex[X]</math> sous la forme <math>P=Q\overline Q</math>.}}
{{Clr}}
{{Solution|titre=Indication|contenu=OnPremière méthode pourra: chercher à factoriser <math>P</math> dans <math>\Complex[X]</math> sous la forme <math>P=Q\overline Q</math>.}}
{{Solution|contenu=
<math>P\in\R[X]</math> est ''a priori'' le produit dans <math>\R[X]</math> d'un polynôme <math>Q</math> scindé et d'un polynôme unitaire <math>R</math> à racines complexes conjuguées deux à deux. On a alors <math>R(\R)>0</math> donc (puisque <math>P(\R)\ge0</math>) <math>Q(\R)\ge0</math>. Par conséquent, toutes les racines de <math>Q</math> sont d'ordre pair et son coefficient dominant est positif, si bien que <math>Q</math> est le carré d'un polynôme <math>S\in\R[X]</math>. <math>R</math> étant pour sa part de la forme <math>T\overline T</math> avec <math>T\in\Complex[X]</math>, on obtient : <math>P=Q\overline Q</math>, avec <math>Q=ST\in\Complex[X]</math>. En décomposant <math>Q</math> sous la forme <math>A+\mathrm iB</math> avec <math>A,B\in\R[X]</math>, on conclut : <math>P=A^2+B^2</math>.
}}
Seconde méthode :
{{Wikipédia|Dix-septième problème de Hilbert}}
#Que dire de la décomposition de <math>P</math> en facteurs irréductibles dans <math>\R[X]</math> ?
#Montrer l'identité <math>(A^2+B^2)(C^2+D^2)=(AD-BC)^2+(AC+BD)^2</math>.
#Conclure.
{{Solution|contenu=
#Les facteurs irréductibles sont de degré 2 ou sont élevés à une puissance paire.
#En développant d'une part <math>(AD-BC)^2+(AC+BD)^2</math> et d'autre part <math>(A^2+B^2)(C^2+D^2)</math>, on trouve bien le même résultat.
#On procède par récurrence sur le nombre de facteurs irréductibles de degré 2. Si ce nombre est nul, <math>P</math> est un carré donc <math>P=A^2+0^2</math>. Sinon, <math>P=(A^2+B^2)Q</math> où <math>A^2+B^2</math> est un facteur irréductible de degré 2. Par hypothèse de récurrence, <math>Q</math> est de la forme <math>C^2+D^2</math>. La question précédente permet de conclure.
}}
 
== Exercice 1-5 ==
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