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« Continuité et variations/Exercices/Théorème des valeurs intermédiaires » : différence entre les versions

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__TOC__
{{Clr}}
== Exercice 2-1 ==
<math>f</math> est la fonction définie sur <math>\R</math> par :
:<math>f(x)=x^3-4x+5</math>.
 
ƒLe but de l'exercice est lade fonctiondémontrer définiel'existence surd'une solution à l'équation <math>\Rf(x)=8</math> par :.
 
'''1.''' Justifier la continuité de <math>f(x)=x^3</math> sur <math>[-4x+52;3]</math>.
 
'''2.''' Calculer <math>f(-2)</math> , <math>f(3)</math>, les comparer à 8.▼
Le but de l'exercice est de démontrer l’existence d'une solution à l'équation <math>f(x)=8</math>.
 
'''1.''' Justifier la continuité de ƒ sur <math>[-2;3]</math>.
 
▲'''2.''' Calculer <math>f(-2)</math> , <math>f(3)</math>, les comparer à 8.
 
'''3.''' Conclure.
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{{Solution
| contenu =
'''1.''' <math>f</math> est une fonction polynôme, elle est donc continue (voir cours).
 
'''2.''' Calculons les images demandées :
Ligne 39 ⟶ 37 :
&=20
\end{align}</math>
{{Encadre|contenu=Doncdonc <math>f(-2)<8<f(3)</math>.}}
 
 
'''3.''' Donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires il existe (au moins) un réel <math>x \in [-2;3]</math> vérifiant l'équation : <math>f(x)=8</math>. <div align=center>{{Remarque|align=center|contenu=En réalité il y a 3 solutions : <math>x=-1~,~x=\frac{1+\sqrt{13}}2~{\rm et}~x=\frac{1-\sqrt{13}}2</math>.}}</div>
}}
 
== Exercice 2-2 ==
ƒ<math>f</math> est définie et continue sur <math>I=[-4 ; 1]</math> par <math>f:x\mapsto x^3 + 6x^2 + 9x + 3</math>.
 
Le tableau de variations de ƒ<math>f</math> est le suivant :
<math>\begin{array}{c|ccccccc|}
x&-4&&-3&&-1&&1\\
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''On admettra que les variations représentées sont strictes, c'est-à-dire que la fonction est soit strictement croissante, soit strictement décroissante sur les intervalles représentés.''
 
'''1.''' En justifiant votre réponse, déterminer le nombre de solutions de l'équation <math>f(x)=2</math> dans <math>I</math>.
 
'''2. a.''' Justifier que l'équation <math>f(x)=4</math> admet une solution unique, α, dans l'intervalle <math>I</math>.
 
'''b.''' Déterminer un encadrement de α entre deux entiers consécutifs (en justifiant votre réponse).
Ligne 70 ⟶ 68 :
 
'''3.''' On admet que l'équation <math>f(x)=0</math> admet une solution unique β dans [-3 ; -1]. Déterminer un encadrement de β à 10{{exp|-2}} près (en justifiant la réponse).
{{Solution|contenu=▼
 
▲{{Solution
| contenu =▼
'''1.'''
* ƒ<math>f</math> est strictement croissante sur [-4 ; -3], à valeurs dans [-1 ; 3] contenant 2. Donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires pour les fonctions strictement monotones, l'équation <math>f(x)=2</math> admet une solution unique dans [-4 ; -3] ;
* ƒ<math>f</math> est strictement décroissante sur [-3 ; -1], donc le même théorème assure que l'équation <math>f(x)=2</math> admet aussi une solution unique sur [-3 ; -1] ;
* ƒ<math>f</math> est strictement croissante sur [-1 ; 1], à valeurs dans [-1 ; 19] qui contient 2 donc, d’après le même théorème, l'équation <math>f(x)=2</math> admet une solution unique dans [-1 ; 1].
 
 
Ligne 83 ⟶ 79 :
 
'''2. a.''' Nombre de solutions de l'équation <math>f(x)=4</math> :
ƒ<math>f</math> admet en -3 un maximum égal à 3 sur l'intervalle [-4 ; -1] donc 4 n'a pas d'antécédent dans cet intervalle, l'équation <math>f(x)=4</math> n'admet donc pas de solution sur [-4 ; -1].
 
Sur [-1 ; 1], ƒ<math>f</math> est strictement croissante et prend ses valeurs dans [-1 ; 19]. Or, 4 ∈ [-1 ; 19]. Donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires pour les fonctions strictement monotones, l'équation <math>f(x)=4</math> admet une solution unique dans [-1 ; 1].
 
 
Ligne 91 ⟶ 87 :
 
 
'''b.''' D'après la question précédente, α ∈ [-1 ; 1]. Or, ƒ<math>f(0) = 3</math> donc 3 < 4 < 19, c'est-à-dire ƒ<math>f(0) < 4 < ƒf(1)</math>.
 
 
'''Conclusion''' : α ∈ [0 ; 1] (encadrement de α par deux entiers consécutifs).
 
 
'''c.''' Valeur approchée par excès de α au millième près :
* encadrement au dixième près :
ƒ(0,1) ≈ 3,961 et ƒ(0,2) ≈ 5,048 donc ƒ(0,1) < 4 < ƒ(0,2), car ƒ<math>f</math> est strictement croissante
:donc 0,1 < α < 0,2.
 
* encadrement au centième près :
ƒ(0,10) ≈ 3,961 et ƒ(0,11) ≈ 4,063 donc ƒ(0,10) < 4 < ƒ(0,11), car ƒ<math>f</math> est strictement croissante
:donc 0,10 < α < 0,11.
 
* encadrement au millième près :
ƒ(0,103) ≈ 3,992 et ƒ(0,104) ≈ 4,002
:or ƒ(0,103) < 4 < ƒ(0,104) et 0,103 < α < 0,104
:donc 0,103 < α < 0,104 encadrement au millième près de α.
 
 
'''Conclusion''' : '''α ≈ 0,104''' (valeur approchée par excès au millième).
 
'''3.'''
β solution de l'équation <math>f(x)=0</math> (encadrement à 10{{exp|-2}} près) avec β ∈ [-3 ; 1].
 
Sur [-3 ; -1], ƒ<math>f</math> est décroissante, donc si ƒ<math>f(x) > 0</math> alors x < β et si ƒ<math>f(x) < 0</math> alors x > β.
 
* à l'entier près : ƒ(-2) = 1 et ƒ(-1) = -1 donc ƒ(-2) > 0 > ƒ(-1)
Ligne 128 ⟶ 124 :
 
'''Conclusion''' : '''-1,66 < β < -1,65''', encadrement à 10{{exp|-2}} près de β.
}}
 
==Exercice 2-3==
Soit <math>f:\left]0,+\infty\right[\to\R</math> définie par <math>f(x)=\frac{\ln x}{x^4}</math>.
#Déterminer les limites de <math>f</math> en <math>+\infty</math> et en <math>0^+</math>.
#Montrer qu'il existe un réel <math>\lambda</math> tel que <math>f(\lambda)=-2</math>.
▲ {{Solution| contenu =
#<math>\lim_{0^+}f=\frac{-\infty}{0^+}=-\infty</math> et par croissances comparées, <math>\lim_{+\infty}f=0</math>.
#Il existe donc <math>a,b\in\left]0,+\infty\right[</math> tels que <math>f(a)<-2</math> et <math>f(b)>-2</math>. Comme <math>f</math> est continue sur <math>[a,b]</math>, il existe alors (d'après le T.V.I.) un réel <math>\lambda\in[a,b]</math> tel que <math>f(\lambda)=-2</math>.
}}
 
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