« Trigonométrie hyperbolique/Exercices/Exercices » : différence entre les versions

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Résoudre le système :

:<math>(S)~:~\begin{cases}\cosh x+\cosh y=\frac{35}{12}\\\sinh x+\sinh y=\frac{25}{12}.\end{cases}</math>

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Résoudre les équations :

#<math>\operatorname{arsinh}x=\operatorname{argcoth}x</math> ;

#Soit <math>y=\operatorname{arsinh}x</math>.<br><math>y=\operatorname{argcoth}x\Leftrightarrow\coth y=x\Leftrightarrow\frac\sqrt{1+x^2}x=x\Leftrightarrow 1+x^2=x^4</math>.<br>En posant <math>X=x^2</math>, on obtient l'équation <math>X^2-X-1=0</math>, dont la solution positive est <math>X=\frac{1+\sqrt5}2</math>.<br>Finalement, les solutions sont : <math>x_1=\sqrt{\frac{1+\sqrt5}2}</math> et <math>x_2=-x_1</math>.

#Soit <math>y=\operatorname{arcosh}x</math> (qui n'existe que si <math>x\ge1</math>, et qui est alors positif ou nul).<br><math>y=\operatorname{argcoth}x\Leftrightarrow\coth y=x\Leftrightarrow\frac x\sqrt{x^2-1}=x\Leftrightarrow x^2-1=1\Leftrightarrow x=\sqrt2</math>.

}}