« Équation différentielle/Exercices/Équation différentielle linéaire du premier ordre » : différence entre les versions
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→Équations à coefficients variables avec second membre : +1 question |
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Ligne 225 :
#<math>xy'-2y=x^3\sin x,\quad y(\pi/2)=1</math>.
#<math>xy'-y=x^3,\quad y(1)=0</math>.
#<math>xy'-y=4x^3\cos(2x)</math>, sur <math>\R_+^*</math>.
#<math>y'-y\tan x=\cos^2x</math>, <math>y(0)=\lambda\in\R</math>.
#<math>y'\cos x+y\sin x=1</math>.
Ligne 250 ⟶ 251 :
#:Les solutions de l'équation homogène sont donc les fonctions de la forme <math>y(x)=C\operatorname e^{\ln x}=Cx\qquad(C\in\R)</math>.
#:Par variation de la constante, les solutions de l'équation avec second membre sont les fonctions de la forme
#:<math>y(x)=C(x)x</math> avec <math>C</math> fonction solution de <math>x^2C'(x)=x^3</math>, c
#:donc <math>y(x)=Kx+\frac{x^3}2\qquad(K\in\R)</math>.
#:La condition initiale <math>y(1)=0</math> équivaut alors à <math>K=-\frac12</math>, et la solution correspondante est donc <math>y(x)=\frac{x^3-x}2</math>.
#<math>I=\R_+^*</math> et comme pour l'équation précédente, les solutions sont les fonctions de la forme
#:<math>y(x)=C(x)x</math> avec <math>C</math> fonction solution de <math>x^2C'(x)=4x^3\cos(2x)</math>, c.-à-d. (après calcul d'une [[Intégration en mathématiques/Exercices/Primitives 3#Exercice 6-3|primitive de <math>x\mapsto x\cos(2x)</math>]]) <math>C(x)=K+2x\sin(2x)+\cos(2x)\qquad(K\in\R)</math>
#:donc <math>y(x)=Kx+2x^2\sin(2x)+x\cos(2x)\qquad(K\in\R)</math>.
#<math>I=\left]-\frac\pi2,\frac\pi2\right[</math>, <math>a(x)=1</math>, <math>b(x)=-\tan x</math>, <math>x_0=0</math>, <math>y_0=\lambda</math>.
#:<math>\Psi(x)=\int_0^x\tan t\,\mathrm dt=-\ln(\cos x)</math>.
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