« Trigonométrie/Exercices/Résolution d'équations 1 » : différence entre les versions

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== Exercice 6-4 ==
Résoudre les équations :
'''2°''' &nbsp;#<math>\sin x+\cos x=\sqrt21</math>. ;
 
'''1°''' &nbsp;#<math>\sin x+\cos x=1\sqrt2</math> ;
#<math>\sin x+\sqrt3\cos x=\sqrt2</math>.
 
'''2°''' &nbsp;<math>\sin x+\cos x=\sqrt2</math>.
 
Indication : on pourra calculer <math>\sin\left(x+\frac\pi4\right)</math> en fonction de <math>\sin x</math> et de <math>\cos x</math>.
{{Solution|contenu=
On applique [[../../Équations et inéquations trigonométriques#Cas général|le cours (cas général)]] :
L'indication correspond à l'[[../Établissement de formules 2#Exercice 4-4|exercice 4-4]] : <math>\cos x+\sin x=\sqrt2\sin\left(x+\frac\pi4\right)</math>.
'''#<math>a=b=c=1,\sqrt{a^2°+b^2}=\sqrt2,a'=c'=\frac1\sqrt2=\cos\frac\pi4,b' &nbsp;=\frac1\sqrt2=\sin\frac\pi4</math>.<br><math>\sin x+\cos x=1\Leftrightarrow\cos\left(x+-\frac\pi4\right)=1\cos\frac\pi4\Leftrightarrow x+-\frac\pi4\equiv\pm\frac\pi2pi4\modbmod{2\pi}\Leftrightarrow x\equiv\frac\pi4pi2</math> ou <math>0\modbmod{2\pi}</math>.
 
'''#<math>a=b=1°,c=\sqrt2,\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt2,a'=\frac1\sqrt2=\cos\frac\pi4,b'=\frac1\sqrt2=\sin\frac\pi4,c' &nbsp;=1=\cos0</math>.<br><math>\sin x+\cos x=\sqrt2\Leftrightarrow\cos\left(x+-\frac\pi4\right)=\frac1{\sqrt2}cos0\Leftrightarrow x+-\frac\pi4\equiv\frac\pi4equiv0\text{ ou }\frac{3\pi}4\modbmod{2\pi}\Leftrightarrow x\equiv0\text{ ou }equiv\frac\pi2pi4\modbmod{2\pi}</math>.
#<math>a=1,b=\sqrt3,c=\sqrt2,\sqrt{a^2+b^2}=2,a'=\frac12=\cos\frac\pi3,b'=\frac\sqrt32=\sin\frac\pi3,c'=\frac\sqrt22=\cos\frac\pi4</math>.<br><math>\sin x+\sqrt3\cos x=\sqrt2\Leftrightarrow\cos\left(x-\frac\pi3\right)=\cos\frac\pi4\Leftrightarrow x-\frac\pi3\equiv\pm\frac\pi4\bmod{2\pi}\Leftrightarrow x\equiv\frac{7\pi}{12}</math> ou <math>\frac\pi{12}\bmod{2\pi}</math>.
 
'''2°''' &nbsp;<math>\sin\left(x+\frac\pi4\right)=1\Leftrightarrow x+\frac\pi4\equiv\frac\pi2\mod{2\pi}\Leftrightarrow x\equiv\frac\pi4\mod{2\pi}</math>.
}}