« Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur la trigonométrie » : différence entre les versions

#<math>\Sigma_n=\sum_{k=1}^n\left(\cos\theta\operatorname e^{\mathrm i\theta}\right)^k</math> est la somme des <math>n</math> premiers termes de la suite géométrique de raison <math>q=\cos\theta\operatorname e^{\mathrm i\theta}</math> et de premier terme <math>q</math>.

#Notons <math>c=\cos\theta</math>, <math>s=\sin\theta</math> et <math>u=\operatorname e^{\mathrm i\theta}=c+\mathrm is</math>.<br><math>\Sigma_n=\frac{q-q^{n+1}}{1-q}=\frac{\left(cu-c^{n+1}u^{n+1}\right)\left(1-cu^{-1}\right)}{|1-cu|^2}=\frac{cu-c^{n+1}u^{n+1}-c^2+c^{n+2}u^n}{|1-cu|^2}</math> et<br><math>|1-cu|^2=\left(1-c^2\right)^2+\left(cs\right)^2=1-2c^2+c^2\left(c^2+s^2\right)=1-c^2=s^2</math> donc<br><math>S_n=\frac{c^2-c^{n+1}\cos(n+1)\theta-c^2+c^{n+2}\cos n\theta}{1-c^2}=\frac{c^{n+1}}{s^2}\left(c\cos n\theta-\cos(n+1)\theta\right)=\frac{c^{n+1}\sin n\theta}s</math>.

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