« Calcul différentiel/Exercices/Équations différentielles non linéaires » : différence entre les versions

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→‎Exercice 9 : +1 question (&solution)
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{{Solution|contenu=
#Si <math>x'</math> est bornée sur un intervalle de la forme <math>\left[b-\varepsilon,b\right[</math> alors — d'après l'inégalité des accroissements finis — <math>x</math> est lipschitzienne sur cet intervalle. D'après le [[Topologie générale/Complétude#Espace complet|critère de Cauchy pour une fonction]], <math>x</math> admet alors au point <math>b</math> une limite <math>c</math>. Le couple <math>\left(b,c\right)</math> est [[Topologie générale/Adhérence, intérieur#Adhérence|adhérent]] à l'ouvert <math>U</math> mais ne lui appartient pas car sinon — d'après le [[Calcul différentiel/Exercices../Différentiabilité#Exercice 1|théorème « limite de la dérivée »]] — <math>x</math> serait prolongeable en une solution définie au point <math>b</math>, ce qui contredirait sa maximalité.
#<math>J=\left]a,b\right[\subset I=\left]a',b'\right[</math>. Montrons par l'absurde que <math>b=b'</math> (on montrerait de même que <math>a=a'</math>). Si <math>b<b'</math> alors <math>b</math> est fini. On peut donc appliquer la question précédente, en utilisant que <math>x</math> est à valeurs dans un compact <math>K\subset\Omega</math> et que sur le compact <math>\left[b-\varepsilon,b\right]\times K</math> (avec <math>\varepsilon>0</math> assez petit pour que <math>b-\varepsilon>a'</math>), <math>f</math> est [[w:Compacité (mathématiques)#Compacité et continuité|continue donc bornée]]. On obtient alors un <math>c\in K\subset\Omega</math> tel que <math>\left(b,c\right)\notin U=I\times\Omega</math>, ce qui est absurde puisque <math>b\in I</math>.
}}
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<math>\left\|w\left(s\right)\right\|\le\left\|w\left(0\right)\right\|\mathrm e^{ks}</math>.
 
Par hypothèse, <math>\left\|w'\right\|\le k\left\|w\right\|</math> donc (d'après l'[[Calcul différentiel../../Différentiabilité#Théorèmes d'égalité et d'inégalité des accroissements finis|inégalité des accroissements finis]])
 
<math>\forall r\in\left[0,s\right]\quad g(r):=\left\|w\left(r\right)-w\left(0\right)\right\|\le k\int_0^r\left\|w\left(h\right)\right\|\ \mathrm dh\le k\int_0^r\left(\left\|w\left(0\right)\right\|+g\left(h\right)\right)\ \mathrm dh</math>.