« Calcul différentiel/Exercices/Différentiabilité » : différence entre les versions

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== Exercice 5==
Soient <math>E</math> et <math>F</math> deux e.v.n. réels. Une application <math>f:E\to F</math> est dite [[w:Fonction homogène|homogène]] de degré <math>m\in\N</math> si <math>\forall x\in E\quad\forall t\in\R\qquad f(tx)=t^mf(x)</math>.
#Parmi les fonctions homogènes de degré <math>0</math>, lesquelles sont continues en <math>0</math> ?
#Montrer que si <math>f</math> est homogène de degré <math>m>0</math> et bornée sur la sphère unité, alors <math>f</math> est continue en <math>0</math>.
#Montrer que si <math>f</math> est homogène de degré <math>m\ge1</math> et différentiable en <math>0</math>, alors ou bien <math>f</math> est linéaire (et <math>m=1</math>), ou bien <math>m>1</math> et <math>\mathrm df_0=0</math>.
#Montrer que si <math>f</math> est homogène de degré <math>m>1</math> et bornée sur la sphère unité, alors <math>f</math> est différentiable en <math>0</math> (et <math>\mathrm df_0=0</math>).
#Application : étudier la continuité et la différentiabilité en <math>(0,0)</math> des fonctions <math>f,g,h:\R^2\to\R</math> définies par
#*<math>f(x,y)=0</math> si <math>y\ne0</math> et <math>f(x,0)=x</math> ;
#*<math>g(x,y)=\frac{x^3}{x^2+y^2}</math> si <math>(x,y)\ne(0,0)</math> et <math>g(0,0)=0</math> ;
#*<math>h(x,y)=\frac{x^py^q}{x^2-xy+y^2}</math> si <math>(x,y)\ne(0,0)</math> et <math>h(0,0)=0</math> (discuter suivant les valeurs de <math>p,q\in\N^*</math>).
{{Solution|contenu=
#Les fonctions constantes (pour que <math>\forall x\in E\quad f(0)=\lim_{t\to0\atop t\ne0}f(tx)=f(x)</math>).
#Sous ces hypothèses, on a bien <math>\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{r\to0\atop\|u\|=1}f(ru)=\lim_{r\to0\atop\|u\|=1}r^mf(u)=0=f(0).</math>
#Sous ces hypothèses (et en utilisant l'exercice précédent), <math>\mathrm df_0(x)=\lim_{t\to0\atop t\ne0}\frac{f(tx)-f(0)}t=\lim_{t\to0\atop t\ne0}t^{m-1}f(x)</math> est égal à <math>f(x)</math> si <math>m=1</math>, et à <math>0</math> si <math>m>1</math>.
#Sous ces hypothèses, <math>\varepsilon(ru):=\frac{f(ru)}r=r^{m-1}f(u)</math> tend bien vers <math>0</math> quand <math>r\to0</math> (pour <math>u</math> variant arbitrairement sur la sphère unité).
#<math>f</math> et <math>g</math> sont homogènes de degré <math>1</math> et (par continuité sur un compact) bornées sur le cercle unité, mais non linéaires, donc continues mais non différentiables en <math>(0,0)</math>.<br>Quant à <math>h</math>, remarquons d'abord qu'elle est bien définie. En effet, pour tout <math>(x,y)\ne(0,0)</math>, <math>x^2-xy+y^2=(x-y/2)^2+3y^2/4>0</math>.<br><math>h</math> est homogène de degré <math>p+q-2</math> et bornée sur le cercle unité (comme <math>f</math> et <math>g</math>), mais n'est jamais constante ni linéaire (quels que soient <math>p</math> et <math>q</math>). D'après les questions précédentes, en <math>(0,0)</math>, elle est donc continue si et seulement si <math>p+q>2</math> et différentiable (de différentielle nulle) si et seulement si <math>p+q>3</math>.
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== Exercice 6==
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==Exercice 14==
Redémontrer ''directement'' le corollaire 1 du cours (dont le corollaire 2 est une conséquence immédiate très utile) dans le ''cas particulier plus simple'' où <math>F</math> est l'[[espace euclidien]] <math>\R^n</math>, c'est.-à-dired. :
:Soient <math>a<b</math> et <math>f:\left[a,b\right]\to\R^n</math> continue sur <math>\left[a,b\right]</math> et dérivable sur <math>\left]a,b\right[</math>. Si <math>\forall t\in\left]a,b\right[\quad\|f'(t)\|\le M</math> alors <math>\|f(b)-f(a)\|\le M(b-a)</math>.
Indication : appliquer le théorème des accroissements finis usuel à la fonction <math>g:\left[a,b\right]\to\R,\,t\mapsto\langle f(t)\mid f(b)-f(a)\rangle</math>.
Ligne 302 ⟶ 318 :
#<math>\frac{f(a+tu)-f(a)}t=\frac{\mathrm df_a(tu)+\|tu\|\varepsilon(tu)}t=\mathrm df_a(u)+\frac{|t|}t\|u\|\varepsilon(tu)=\mathrm df_a(u)+\eta(t)</math>,<br>avec <math>\lim_0\varepsilon=0</math> donc <math>\lim_0\eta=0</math>. (D'après la question précédente, on pourrait même se limiter au cas où <math>u</math> est unitaire.)
#Il suffit de considérer la courbe rectiligne <math>\gamma(t)=a+tu</math>.
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==Exercice 16==
Soient <math>E</math> et <math>F</math> deux e.v.n. réels. Une application <math>f:E\to F</math> est dite [[w:Fonction homogène|homogène]] de degré <math>m\in\N</math> si <math>\forall x\in E\quad\forall t\in\R\qquad f(tx)=t^mf(x)</math>.
#Parmi les fonctions homogènes de degré <math>0</math>, lesquelles sont continues en <math>0</math> ?
#Montrer que si <math>f</math> est homogène de degré <math>m>0</math> et bornée sur la sphère unité, alors <math>f</math> est continue en <math>0</math>.
#Montrer que si <math>f</math> est homogène de degré <math>m\ge1</math> et différentiable en <math>0</math>, alors ou bien <math>f</math> est linéaire (et <math>m=1</math>), ou bien <math>m>1</math> et <math>\mathrm df_0=0</math>.
#Montrer que si <math>f</math> est homogène de degré <math>m>1</math> et bornée sur la sphère unité, alors <math>f</math> est différentiable en <math>0</math> (et <math>\mathrm df_0=0</math>).
#Application : étudier la continuité et la différentiabilité en <math>(0,0)</math> des fonctions <math>f,g,h:\R^2\to\R</math> définies par
#*<math>f(x,y)=0</math> si <math>y\ne0</math> et <math>f(x,0)=x</math> ;
#*<math>g(x,y)=\frac{x^3}{x^2+y^2}</math> si <math>(x,y)\ne(0,0)</math> et <math>g(0,0)=0</math> ;
#*<math>h(x,y)=\frac{x^py^q}{x^2-xy+y^2}</math> si <math>(x,y)\ne(0,0)</math> et <math>h(0,0)=0</math> (discuter suivant les valeurs de <math>p,q\in\N^*</math>).
{{Solution|contenu=
#Les fonctions constantes (pour que <math>\forall x\in E\quad f(0)=\lim_{t\to0\atop t\ne0}f(tx)=f(x)</math>).
#Sous ces hypothèses, on a bien <math>\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{r\to0\atop\|u\|=1}f(ru)=\lim_{r\to0\atop\|u\|=1}r^mf(u)=0=f(0).</math>
#Sous ces hypothèses (et en utilisant l'exercice précédent), <math>\mathrm df_0(x)=\lim_{t\to0\atop t\ne0}\frac{f(tx)-f(0)}t=\lim_{t\to0\atop t\ne0}t^{m-1}f(x)</math> est égal à <math>f(x)</math> si <math>m=1</math>, et à <math>0</math> si <math>m>1</math>.
#Sous ces hypothèses, <math>\varepsilon(ru):=\frac{f(ru)}r=r^{m-1}f(u)</math> tend bien vers <math>0</math> quand <math>r\to0</math> (pour <math>u</math> variant arbitrairement sur la sphère unité).
#<math>f</math> et <math>g</math> sont homogènes de degré <math>1</math> et (par continuité sur un compact) bornées sur le cercle unité, mais non linéaires, donc continues mais non différentiables en <math>(0,0)</math>.<br>Quant à <math>h</math>, remarquons d'abord qu'elle est bien définie. En effet, pour tout <math>(x,y)\ne(0,0)</math>, <math>x^2-xy+y^2=(x-y/2)^2+3y^2/4>0</math>.<br><math>h</math> est homogène de degré <math>p+q-2</math> et bornée sur le cercle unité (comme <math>f</math> et <math>g</math>), mais n'est jamais constante ni linéaire (quels que soient <math>p</math> et <math>q</math>). D'après les questions précédentes, en <math>(0,0)</math>, elle est donc continue si et seulement si <math>p+q>2</math> et différentiable (de différentielle nulle) si et seulement si <math>p+q>3</math>.
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