« Fonction exponentielle/Exercices/Équations comportant des exponentielles » : différence entre les versions
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Ligne 59 :
{{Encadre|contenu=<math>x=\ln X=\ln\frac5{\operatorname e^2-3}</math>.}}}}
{{Solution|contenu=Soit <math>x\in\R</math>.
Ligne 65 :
<math>\begin{align}
(
&\Leftrightarrow\operatorname e^x+1=\operatorname e^x(\operatorname e^{-x}+1)\\
&\Leftrightarrow\operatorname e^x+1=1+\operatorname e^x.
Ligne 71 :
On remarque alors que cette assertion est vérifiée pour tout <math>x \in \R</math> !
{{Encadre|contenu=L'ensemble des solutions de (''E''3) est donc <math>S_3=\R</math>.}}
}} ==Équations se ramenant au second degré==
Ligne 86 ⟶ 87 :
C'est une équation du second degré en ''X'' de discriminant <math>\Delta=49>0</math>. Elle admet donc deux racines réelles <math>X_1=3</math> et <math>X_2=-\frac12</math>.
On revient à l'inconnue ''x'' grâce à la fonction logarithme : <math>x_1=\ln X_1=\ln3\approx1{,}1</math> et <math>x_2=\ln(-0{,}5)</math>, qui n'est pas défini.
{{Encadre|contenu=L'
'''NB :''' on peut aussi dire pour x₂ « il n'y a pas de nombre x₂ dont l'exponentielle soit -0,5, car une exponentielle est toujours positive ».}}
===Exercices===
▲* Résoudre dans <math>\R</math> l'équation <math>(E5)~:~-2\operatorname e^{2x+1}+7\operatorname e^x=3</math>.
{{Solution|contenu=Soit <math>x\in\R</math>.
Ligne 103 ⟶ 102 :
Cette équation du second degré en ''X'' n'admet donc pas de racine réelle.
{{Encadre|contenu=L'ensemble des solutions de (''E''5) est <math>S_5=\varnothing</math>.}}
}} {{Solution|contenu=Soit <math>x\in \R</math>.
Ligne 115 :
\end{align}</math>
Comme l'équation <math>\operatorname e^x=-3</math> d'inconnue ''x'' n'admet pas de solution,
{{Encadre|contenu=l'unique solution de (''E''6) est <math>\ln5</math>.}}
}}
{{Solution|contenu=Soit <math>x\in\R</math>. On pose <math>X=\operatorname e^x</math>.
Ligne 123 ⟶ 125 :
Cette équation du second degré a pour discriminant <math>\Delta=-3</math>, donc n'admet aucune racine réelle.
}}
▲Donc l'ensemble des solutions de (''E''7) est <math>S_7=\varnothing</math>.}}
▲* Résoudre dans <math>\R</math> l'équation <math>(E8)~:~\operatorname e^x-2\operatorname e^{-x}=1</math>.
{{Solution|contenu=Soit <math>x\in\R</math>. On pose <math>X=\operatorname e^x</math> (donc <math>X>0</math>).
Alors, <math>(E8)\Leftrightarrow X-\frac2X=1\Leftrightarrow X^2-X-2=0\Leftrightarrow X=2</math> (car l'autre solution, <math>-1<0</math>, est exclue).
}}
==Système avec exponentielles se ramenant à des systèmes linéaires==
===Exercice===
Résoudre
:<math>(S)~:~\begin{cases}
\operatorname e^x+3\operatorname e^y=5\\
2\operatorname e^x-\operatorname e^y=3.
\end{cases}</math>
{{Solution|contenu=Soit <math>(x,y)\in\R^2</math>.
Ligne 153 :
On revient à (''x'', ''y'') grâce à la fonction <math>\ln</math> : <math>(x,y)=(\ln X,\ln Y)</math>.
{{Encadre|contenu=L'
}} ==Lien externe==
{{Lien web|url=https://www.dcode.fr/solveur-equation|titre=Solveur d'équation|site=dcode.fr}}
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