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« Fonction exponentielle/Exercices/Étude d'une fonction comportant des exponentielles » : différence entre les versions

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Ligne 9 :
}}
 
On appelle ƒ<math>f</math> la fonction définie sur l’ensemblel'ensemble des nombres réels par :
:<math>f:x\mapsto\frac{\operatorname e^x-\operatorname e^{-x}}2</math>.
 
On désigne par <math>\mathcal{C}</math> la courbe représentative de ƒ<math>f</math> dans le plan rapporté à un repère orthonormal.
 
 
# '''Question 1'''
## Déterminer les limites de ƒ<math>f</math> en <math>-\infty</math> et en <math>+\infty</math>.
## Calculer ƒ <math>f'(''x'')</math> pour tout nombre réel ''<math>x''</math> et en déduire le sens de variation de ƒ<math>f</math> sur <math>\R</math>.
# '''Question 2'''
## Déterminer une équation de la tangente T à la courbe <math>\mathcal{C}</math> au point d'abscisse 0.
Ligne 26 :
{{Solution
| contenu =
;1.1 Déterminer les limites de ƒ<math>f</math> en <math>-\infty</math> et en <math>+\infty</math>.
:<math>\lim_{x\to+\infty}\operatorname e^x=+\infty</math>
:<math>\lim_{x\to+\infty}\operatorname e^{-x}=0</math>
:Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\operatorname e^x-\operatorname e^{-x}=+\infty</math>
{{Encadre|contenu=<math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty</math>}}
 
:<math>\lim_{x\to-\infty}\operatorname e^x=0</math>
:<math>\lim_{x\to-\infty}\operatorname e^{-x}=+\infty</math>
:Donc <math>\lim_{x\to-\infty}\operatorname e^x-\operatorname e^{-x}=-\infty</math>
{{Encadre|contenu=<math>\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty</math>}}
 
 
;1.2 Calculer ƒ <math>f'(''x'')</math> pour tout nombre réel ''<math>x''</math> et en déduire le sens de variation de ƒ sur <math>\R</math>.
 
:ƒ<math>f</math> est dérivable et, pour tout <math>x\in\R</math>
:<math>f'(x)=\frac12\left(\operatorname e^x-(-1)\times\operatorname e^{-x}\right)=\frac{\operatorname e^x+\operatorname e^{-x}}2</math>.
 
:Une exponentielle est toujours strictement positive, donc pour tout <math>x\in\R,~f'(x)>0</math>
{{Encadre|contenu=ƒ<math>f</math> est strictement croissante.}}▼
 
▲{{Encadre|contenu=ƒ est strictement croissante.}}
 
 
;2.1 Déterminer une équation de la tangente T à la courbe <math>\mathcal{C}</math> au point d'abscisse 0.
:L'équation de la tangente à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 0 est la droite d'équation <math>y=f(0)+f'(0)(x-0)</math>
{{Encadre|contenu=La tangente à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 0 est la droite <math>y=x</math>.}}
 
 
;2.2 En étudiant le sens de variation de la fonction ''d'' définie sur <math>\R</math> par <math>d:x\mapsto f(x)-x</math>, préciser la position de <math>\mathcal{C}</math> par rapport à T.
Ligne 58 ⟶ 55 :
:<math>\begin{align}
d'(x)&=f'(x)-1\\
&=\frac{\operatorname e^x+\operatorname e^{-x}}2-1\\
&=\frac{\operatorname e^x-2+\operatorname e^{-x}}2\\
&=\frac{(\operatorname e^{x/2})^2-2e2\operatorname e^{x/2}\operatorname e^{-x/2}+(\operatorname e^{-x/2})^2}2\\
&=\frac{(\operatorname e^{x/2}-\operatorname e^{-x/2})^2}2\\
\end{align}</math>
 
Ligne 79 ⟶ 76 :
* ''d'' est négative sur <math>\R^-</math>
* ''d'' est positive sur <math>\R^+</math>
 
 
{{Encadre|contenu=Finalement,
* Sur <math>\R^-</math>, T est au-dessus de <math>\mathcal C</math>
* Sur <math>\R^+</math>, T est en-dessous de <math>\mathcal C</math>}}
 
 
;2.3 Tracer <math>\mathcal{C}</math> et T.
 
[[Fichier:WV-ExoMaths00006.svg|400px]]
}}
 
 
=== Une petite page de culture ===
La fonction <math>f</math> est une fonction classique en mathématiques qui s’appelle la fonction « sinus hyperbolique », notée <math>\sinh</math>.
:<math>{\rm ch}sinh:x\mapsto\frac{\operatorname e^x+-\operatorname e^{-x}}2</math>.▼
 
LaSa fonction ƒdérivée est une fonction classique en mathématiques qui s’appelle la fonction « sinuscosinus hyperbolique », notée sh<math>\cosh</math>.
:<math>{\rm sh}cosh:x\mapsto\frac{\operatorname e^x-+\operatorname e^{-x}}2</math>.
 
Sa dérivée est la fonction « cosinus hyperbolique », notée ch.
▲:<math>{\rm ch}:x\mapsto\frac{e^x+e^{-x}}2</math>
 
Ces fonctions sont respectivement les parties impaire et paire de l'exponentielle :
* pour tout <math>x\in\R,~{\rm sh}quad\sinh(-x)=-{\rmsinh sh}(x)</math> ;
* pour tout <math>x\in\R,~{\rm ch}quad\cosh(-x)={\rmcosh ch}(x)</math> ;
* pour tout <math>x\in\R,~{\rmquad\cosh ch}(x)+{\rmsinh sh}(x)=\operatorname e^x</math>.
 
De plus, elles disposent de propriétés algébriques très ressemblantes aux fonctions de trigonométrie classique. Par exemple <math>{\rm ch}cosh^2-{\rm sh}sinh^2=1</math>.
 
Pour aller plus loin, consulter le cours sur la [[trigonométrie hyperbolique]].
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