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== Exercice 7-1 ==
On a :Soient <math> f(x) =ke^{3x}a,b\in\R</math>. ▼
Déterminer l'unique fonction <math>f</math> dérivable sur <math>\R</math> vérifiant les conditions données. :
'''1.''' :<math>f'= 3faf</math> et <math>f(0)= -2b</math>. ▼
Puis vérifier que la solution convient dans chaque cas.
'''1.''' <math>f'=-3f</math> et <math>f(0)=-2</math>.
'''2.''' <math>f'=\frac{1}{2}f</math> et <math>f(0)=3</math>
'''3.''' <math>4f'=f</math> et <math>f(0)=0</math>
{{Solution
|contenu=
La solution générale de l'[[Équation différentielle/Résolution de l'équation différentielle y'=ay+b#Équation différentielle y'=ay|équation différentielle <math>f'=af</math>]] est <math>f(x)=k\operatorname e^{ax}</math> (<math>k\in\R</math>).
'''Exercice 1'''
On a : <math>f(x) =ke^{-3x}</math>.
Recherche de k.
On sait que f(0) = - 2 donc k = - 2.
Finalement : <math>f(x) =-2e^{-3x}</math>.
'''Exercice 2'''
On a : <math>f(x) =ke^{\frac{1}{2}x}</math>.
Recherche de k.
On sait que f(0) = 3 donc k = 3 .
Finalement :<math>f(x) =3 e^{\frac{1}{2}x}</math>.
'''Exercice 3'''
L'équation se réécrit : <math>f'=\frac{1}{4}f</math>
Donc <math>f(x) =ke^{\frac{1}{}x}</math>.
Recherche de k.
On sait que f(0) = 0 donc k = 0 .
Finalement :<math>f(x) = 0 </math>.
}}
== Exercice 2 ==
Déterminer l'unique fonction dérivable sur <math>\R</math> vérifiant les conditions données.
Puis vérifier que la solution convient dans chaque cas.
▲'''1.''' <math>f'=3f</math> et <math>f(0)=-2</math>.
'''2.''' <math>f'=\frac{1}{2}f</math> et <math>f(0)=-3</math> ▼
'''3'''. <math>2f'=f</math> et <math>f(0)=0</math>
{{Solution
|contenu=
'''Exercice 1'''
▲On a : <math>f(x) =ke^{3x}</math>.
Recherche de k.
On sait que f(0) = - 2 donc k = - 2.
Finalement : <math>f(x) =-2e^{3x}</math>.
'''Exercice 2'''
On a : <math>f(x) =ke^{\frac{1}{2}x}</math>.
Recherche de k.
On sait que f(0) = - 3 donc k = - 3 .
Finalement :<math>f(x) =-3 e^{\frac{1}{2}x}</math>.
'''Exercice 3'''
L'équation se réécrit : <math>f'=\frac{1}{2}f</math>
Donc <math>f(x) =ke^{\frac{1}{2}x}</math>.
▲'''2.'''On a de plus <math>f '(0)= \frac{1}{2}fb</math> si et seulement si <math> f(0)k= -3b</math> .
Recherche de k.
On sait que f(0) = 0 donc k = 0 .
Finalement : <math>f(x) =b\operatorname 0 e^{ax}</math>.
}}
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