« Fonction exponentielle/Exercices/Équations différentielles » : différence entre les versions
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Soient <math>a,b\in\R</math>.
Déterminer l'unique fonction <math>f</math> dérivable sur <math>\R</math> vérifiant :
Ligne 18 :
Finalement : <math>f(x)=b\operatorname e^{ax}</math>.
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==Exercice 7-2==
Un médicament administré par voie orale est éliminé par la fonction rénale. On suppose que la durée d'absorption par voie orale est négligeable (à <math>t=0</math>, la quantité <math>Q_0</math> de produit est présente dans le tube digestif). La vitesse de passage du médicament du système digestif à la circulation sanguine est proportionnelle à la quantité de médicament restant dans le tube digestif (de constante d'absorption <math>k_a</math>). La vitesse d'élimination du médicament par les reins est proportionnelle à la quantité présente dans le sang (de constante d'élimination <math>k_e<k_a</math>). On note <math>Q(t)</math> (respectivement <math>S(t)</math>) la quantité de médicament présente dans le tube digestif (resp. dans le sang) à l'instant <math>t</math>.
#Calculer la quantité de médicament dans le tube digestif en fonction du temps.
#Expliquer la relation suivante : <math>S'(t)=k_aQ(t)-k_eS(t)</math>. En déduire l'expression de <math>S(t)</math>.
#Au bout de combien de temps la quantité de médicament dans le sang sera-t-elle maximale ?
{{Solution|contenu=
#<math>Q'=-k_aQ</math> donc <math>Q=Q_0\operatorname e^{-k_at}</math>.
#L'augmentation de médicament dans le sang est égale à l'apport du système digestif moins l'élimination par les reins, d'où <math>S'=k_aQ-k_cS</math>. Donc <math>S</math> est solution de <math>y'+k_cy=k_aQ</math>. Une solution particulière est <math>y_0=CQ</math> avec <math>C</math> constante telle que <math>k_aQ=C(Q'+k_cQ)=C(k_c-k_a)Q</math>, [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] <math>C=-k_a/(k_a-k_c)</math>. La solution générale est <math>y=y_0+\lambda\operatorname e^{-k_ct}</math>. Donc <math>S=CQ+\lambda\operatorname e^{-k_ct}</math>, avec <math>\lambda</math> déterminé par la condition initiale : <math>0=S_0=CQ_0+\lambda</math>. D'où finalement <math>S={k_aQ_0\over k_a-k_c}(\operatorname e^{-k_ct}-\operatorname e^{-k_at})</math>.
#<math>S'=0\Leftrightarrow k_c\operatorname e^{-k_ct}=k_a\operatorname e^{-k_at}\Leftrightarrow t={\ln(k_a/k_c)\over k_a-k_c}</math>.
}}
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