« Fonction exponentielle/Exercices/Équations différentielles » : différence entre les versions

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#L'augmentation de médicament dans le sang est égale à l'apport du système digestif moins l'élimination par les reins, d'où <math>S'=k_aQ-k_cS</math>. Donc <math>S</math> est solution de <math>y'+k_cy=k_aQ</math>. Une solution particulière est <math>y_0=CQ</math> avec <math>C</math> constante telle que <math>k_aQ=C(Q'+k_cQ)=C(k_c-k_a)Q</math>, [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] <math>C=-k_a/(k_a-k_c)</math>. La solution générale est <math>y=y_0+\lambda\operatorname e^{-k_ct}</math>. Donc <math>S=CQ+\lambda\operatorname e^{-k_ct}</math>, avec <math>\lambda</math> déterminé par la condition initiale : <math>0=S_0=CQ_0+\lambda</math>. D'où finalement <math>S={k_aQ_0\over k_a-k_c}(\operatorname e^{-k_ct}-\operatorname e^{-k_at})</math>.
#<math>S'=0\Leftrightarrow k_c\operatorname e^{-k_ct}=k_a\operatorname e^{-k_at}\Leftrightarrow t={\ln(k_a/k_c)\over k_a-k_c}</math>.
}}
 
==Exercice 7-3==
L'effectif <math>N(t)</math> (exprimé en milliers) d'une population de microbes s'accroît, pendant l'intervalle de temps <math>\Delta t</math>, de la moitié du produit <math>N(100-N)\Delta t</math>.
#Établir l'équation différentielle satisfaite par <math>N(t)</math>.
#On pose <math>y(t)=\frac1{N(t)}</math>. Donner l'équation différentielle satisfaite par <math>y(t)</math>.
#Donner l'expression de <math>y(t)</math> et en déduire <math>N(t)</math>.
#Sachant que <math>N(0)=50</math>, étudier l'évolution de la population au cours du temps. En particulier, quel est l'effectif limite quand <math>t</math> tend vers l'infini ?
{{Solution|contenu=
#<math>N'=N(100-N)</math>.
#<math>N=1/y</math>, <math>N'=-y'/y^2</math>, donc l'équation différentielle devient <math>-y'/y^2=(1/y)(100-1/y)</math>, [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] <math>y'+100y=1</math>.
#<math>y={1\over 100}+\lambda\operatorname e^{-100t}</math> avec <math>\lambda=y(0)-1/100=1/N(0)-1/100</math>, et <math>N=1/y</math>.
#Si <math>N(0)=50</math> alors <math>\lambda=1/100</math> donc <math>y={1+\operatorname e^{-100t}\over 100}</math> donc <math>N={100\over 1+\operatorname e^{-100t}}</math>, fonction croissante, et <math>\lim_{+\infty}N=100</math>.
}}