« Fonction exponentielle/Exercices/Équations différentielles » : différence entre les versions
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#<math>y={1\over 100}+\lambda\operatorname e^{-100t}</math> avec <math>\lambda=y(0)-1/100=1/N(0)-1/100</math>, et <math>N=1/y</math>.
#Si <math>N(0)=50</math> alors <math>\lambda=1/100</math> donc <math>y={1+\operatorname e^{-100t}\over 100}</math> donc <math>N={100\over 1+\operatorname e^{-100t}}</math>, fonction croissante, et <math>\lim_{+\infty}N=100</math>.
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==Exercice 7-4==
Un bateau-citerne a coulé au large de la Bretagne. On souhaite alors retirer le pétrole restant dans une de ses cuves. Pour ce faire, on introduit dans la cuve une quantité <math>N_0</math> de bactéries qui ont la propriété d'éliminer le pétrole. Ces bactéries se reproduisent et l'on note <math>N(t)</math> la quantité de bactéries présentes dans la cuve au temps <math>t</math>. On suppose que l'évolution de la quantité de bactéries suit la propriété suivante : ''pendant un petit intervalle de temps <math>\Delta t</math>, la variation de quantité <math>\Delta N</math> est proportionnelle (avec un coefficient constant <math>k>0</math>) à <math>\Delta t</math> et la quantité de bactéries présentes dans la cuve.
#Expliquer pourquoi <math>N(t)</math> satisfait l'équation différentielle <math>N'(t)-kN(t)=0</math>.<br>Donner alors l'expression de <math>N(t)</math> et tracer approximativement le graphe de <math>N(t)</math>.
#Pour tout <math>t</math>, on note <math>T(t)</math> le temps nécessaire pour que la quantité au temps <math>t+T(t)</math> soit le double de la quantité au temps <math>t</math> (temps de doublement de vies). Montrer que <math>T(t)</math> ne dépend pas de <math>t</math> et en donner une expression en fonction de <math>k</math>.
#On suppose que le temps <math>t</math> est exprimé en heures. On a observé qu'au bout de 3 heures, la quantité de bactéries avait doublé par rapport à la quantité de départ <math>N_0</math>. Calculer alors <math>k</math>.
#On suppose que <math>N_0=10^3</math>. Avec la valeur de <math>k</math> donnée à la question précédente, calculer le temps <math>T</math> au bout duquel on aura <math>10^6</math> bactéries dans la cuve.
#:On note <math>Q(t)</math> la quantité de pétrole présent dans la cuve. On suppose qu'à <math>t=0</math>, on avait une quantité <math>Q(0)=Q_0</math>. On suppose que l'élimination du pétrole par les bactéries se fait de la façon suivante : ''la vitesse d'élimination de la quantité de pétrole éliminé est proportionnelle (avec un coefficient constant <math>\lambda>0</math>) à la quantité de bactéries présentes dans la cuve.
#En utilisant cette hypothèse, donner l'expression de <math>Q'(t)</math>. En déduire alors que
#:<math>Q(t)=Q_0+\frac{\lambda N_0}k-\frac{\lambda N_0}k\operatorname e^{kt}</math>.
#Tracer approximativement le graphe de <math>Q(t)</math> et déterminer, en fonction de <math>Q_0</math>, <math>N_0</math>, <math>\lambda</math> et <math>k</math>, le temps <math>\tau</math> à partir duquel toute la quantité de pétrole aura disparu.
{{Solution|contenu=
#D'après l'énonce, <math>N'=kN</math>. Donc <math>N=N_0\operatorname e^{kt}</math>.
#<math>N(t+T)=2N(t)\Leftrightarrow\operatorname e^{kT}=2\Leftrightarrow T={\ln2\over k}</math>.
#<math>T=3\Leftrightarrow k=\frac{\ln2}3</math>.
#<math>10^3\operatorname e^{kt}=10^6\Leftrightarrow\operatorname e^{kt}=10^3\Leftrightarrow t={3\ln(10)\over k}={9\ln(10)\over\ln2}</math>.
#<math>Q'=-\lambda N=-\lambda N_0\operatorname e^{kt}</math>, donc <math>Q=-\lambda N_0\operatorname e^{kt}/k+C</math> avec <math>Q_0=-\lambda N_0/k+C</math>, d'où <math>Q=Q_0+{\lambda N_0\over k}-{\lambda N_0\over k}\operatorname e^{kt}</math>.
#<math>Q</math> décroît, et s'annule lorsque <math>\operatorname e^{kt}=1+{kQ_0\over\lambda N_0}</math>, [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] pour <math>t={1\over k}\ln({kQ_0\over\lambda N_0})</math>.
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