« Fonction exponentielle/Exercices/Équations différentielles » : différence entre les versions
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#<math>Q'=-\lambda N=-\lambda N_0\operatorname e^{kt}</math>, donc <math>Q=-\lambda N_0\operatorname e^{kt}/k+C</math> avec <math>Q_0=-\lambda N_0/k+C</math>, d'où <math>Q=Q_0+{\lambda N_0\over k}-{\lambda N_0\over k}\operatorname e^{kt}</math>.
#<math>Q</math> décroît, et s'annule lorsque <math>\operatorname e^{kt}=1+{kQ_0\over\lambda N_0}</math>, [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] pour <math>t={1\over k}\ln({kQ_0\over\lambda N_0})</math>.
}}
==Exercice 7-5==
On étudie la réaction chimique suivante : <math>2A+3B\rightarrow A_2B_3</math>. La vitesse de réaction est proportionnelle aux concentrations de <math>A</math> et <math>B</math> : <math>\frac{\mathrm d[A_2B_3]}{\mathrm dt}=k[A][B]</math>. On suppose qu'au départ il n'y a pas de produit <math>A_2B_3</math>. Exprimer en fonction du temps les concentrations <math>[A]</math>, <math>[B]</math> et <math>[A_2B_3]</math> (on pourra chercher <math>a</math> et <math>b</math> réels tels que <math>\frac1{(2x-x_1)(3x-x_2)}=\frac a{2x-x_1}+\frac b{3x-x_2}</math>).
{{Solution|contenu=
Omettons les crochets et notons <math>C=A_2B_3</math>. On a <math>A=A_0-2C</math>, <math>B=B_0-3C</math>, <math>k={C'\over (2C-A_0)(3C-B_0)}={C'a\over 2C-A_0}+{C'b\over 3C-B_0}</math> avec <math>a={2\over 3A_0-2B_0}</math> et <math>b={3\over 2B_0-3A_0}</math>, donc <math>a=2/c</math> et <math>b=-3/c</math>, avec <math>c=3A_0-2B_0</math>, et <math>ck={C'\over C-A_0/2}-{C'\over C-B_0/3}=(\ln({B_0/3-C\over A_0/2-C}))'</math> donc <math>{B_0/3-C\over A_0/2-C}=\lambda\operatorname e^{ckt}</math>, avec (pour <math>t=0</math>) <math>\lambda={2 B_0\over 3 A_0}</math>.
On en tire <math>B_0/3-C=\lambda\operatorname e^{ckt}(A_0/2-C)</math> donc <math>C={B_0/3-\lambda\operatorname e^{ckt}A_0/2\over 1-\lambda\operatorname e^{ckt}}=
{(B_0/3)(1-\operatorname e^{ckt})\over 1-{2B_0\over 3A_0}\operatorname e^{ckt}}={1-\operatorname e^{ckt}\over {3\over B_0}-{2\over A_0}\operatorname e^{ckt}}</math>
(et <math>A=A_0-2C,B=B_0-3C</math>).
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