« Changement de variable en calcul intégral/Exercices/Changement de variable moyen » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
→Exercice 3-4 : Style |
→Exercice 3-5 : +1 |
||
Ligne 96 :
Calculer :
:<math>a)\quad\int_1^2x\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\,\mathrm dx\qquad\qquad\qquad b)\quad\int_{-1}^0\arctan\sqrt{\frac{x+1}{x+3}}\,\mathrm dx</math>.
{{Solution|contenu=
a) Posons :
Ligne 121 ⟶ 120 :
&=\frac\pi3+\frac{\ln(2-\sqrt3)}2.
\end{align}</math>
}}
==Exercice 3-6==
#Soit la fonction <math>u(x)=x+\sqrt{x^2+x+1}</math>. Montrer que <math>u</math> est une bijection de <math>[0,1]</math> sur un intervalle <math>[a,b]</math> que l'on précisera.
#Faire la division euclidienne de <math>t^4+2t^3+3t^2+2t+1</math> par <math>t^2+t+1</math>.
#Montrer que <math>x=\frac{t^2-1}{2t+1},\;t\ge1</math> est équivalent à <math>t=x+\sqrt{x^2+x+1},\;x\ge0</math>.
#Faire le changement de variable <math>u(x)=t</math> dans l'intégrale <math>I:=\int_0^1\frac{\mathrm dx}{x+\sqrt{x^2+x+1}}</math>.<br>Montrer que <math>I=\int_a^b\frac{P(t)}{Q(t)}\,\mathrm dt</math>, pour une fraction rationnelle <math>\frac PQ</math> que l'on précisera.
#Faire la décomposition en éléments simples dans <math>\R</math> de la fraction rationnelle de la question précédente et calculer <math>I</math>.
{{Solution|contenu=
#<math>\forall x\ge0\quad u'(x)\ge1</math> donc <math>u</math> est continue strictement croissante (et donc bijective) de <math>[0,1]</math> sur <math>[a,b]</math>, avec <math>a=u(0)=1</math> et <math>b=u(1)=1+\sqrt3</math>.
#<math>t^4+2t^3+3t^2+2t+1=(t^2+t+1)^2</math>.
#<math>u</math> est (continue et strictement croissante donc) bijective de <math>\left[0,+\infty\right[</math> sur <math>\left[1,+\infty\right[</math>, et si <math>x=\frac{t^2-1}{2t+1},\;t\ge1</math> alors <math>x\ge0</math> et <math>u(x)=\frac{t^2-1+\sqrt{(t^2-1)^2+(t^2-1)(2t+1)+(2t+1)^2}}{2t+1}=\frac{t^2-1+\sqrt{t^4+3t^2+2t^3+2t+1}}{2t+1}=\frac{t^2-1+t^2+t+1}{2t+1}=t</math>.
#<math>I=\int_a^b\frac1t\left(\frac{t^2-1}{2t+1}\right)'\,\mathrm dt=\int_a^b\frac{2(t^2+t+1)}{t(2t+1)^2}\,\mathrm dt</math>.
#<math>\frac{2(t^2+t+1)}{t(2t+1)^2}=\frac2t-\frac3{2t+1}-\frac3{(2t+1)^2}</math> donc <math>I=2\ln(1+\sqrt3)-\frac32\ln\frac{3+2\sqrt3}3+\frac32\left(\frac1{3+2\sqrt3}-\frac13\right)</math>.
}}
| |||