« Théorie des groupes/Groupes commutatifs finis, 2 » : différence entre les versions
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Démonstration. Prouvons tout d’abord que [c<sub>1</sub>], ... , [c<sub>s</sub>] forment une famille génératrice du <math>\mathbb{F}_{p}</math>-espace vectoriel G/pG. Tout élément de G/pG étant de la forme [x] avec ''x'' dans G, il s'agit de prouver que
:<math>(1) \qquad [x] = f_{1} [c_{1}] + ... + f_{s} [c_{s}].</math>
D'après les hypothèses de l'énoncé, il existe des entiers rationnels a<sub>1</sub>, ... , a<sub>s</sub> tels que x = a<sub>1</sub> c<sub>1</sub> + a<sub>s</sub> c<sub>s</sub>, d'où
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Remarques :
# La partie de l'énoncé relative au plus petit cardinal de partie génératrice ne sera pas utilisée dans la suite.<br />
# Le lemme qui précède montre que
Notation. Si G est un groupe commutatif fini p-primaire, nous désignerons par d(G) la dimension de G/pG comme <math>\mathbb{F}_{p}</math>-espace vectoriel. D'après ce qui précède, d(G) est le plus petit cardinal de partie génératrice de G. Si G est d'[[../Groupes commutatifs finis, 1#Les groupes commutatifs d'exposant premier comme espaces vectoriels|exposant]] ''p'', pG est nul, donc G/pG est isomorphe à G, donc, dans ce cas, d(G) est la dimension de G comme <math>\mathbb{F}_{p}</math>-espace vectoriel.
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