« Produit scalaire dans l'espace/Exercices/Exercices » : différence entre les versions

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#*<math>d\left(A,(P')\right)=\frac{\left|-x_A+y_A+z_A\right|}{\|\vec n'\|}=\frac{\left|0+1+1\right|}{\sqrt{(-1)^2+1^2+1^2}}=\frac2\sqrt3</math>.
#Puisque <math>(P)</math> et <math>(P')</math> se coupent perpendiculairement suivant <math>(d)</math>, le théorème de Pythagore donne :<br><math>d\left(A,(d)\right)^2=d\left(A,(P)\right)^2+d\left(A,(P')\right)^2=\frac46+\frac43=2</math> donc <math>d\left(A,(d)\right)=\sqrt2</math>.
}}
==Exercice 3==
Dans l'espace euclidien usuel <math>\R^3</math>, on considère les points <math>A=(1,1,1)</math>, <math>B=(-2,-5,-2)</math> et <math>C=(-1,-3,-3)</math>.
#Déterminer l'équation du plan <math>P</math> contenant <math>A</math> et orthogonal à la droite <math>(BC)</math>.
#Trouver la distance entre le plan <math>P</math> et le point <math>B</math>.
#Trouver la distance entre la droite <math>(BC)</math> et le point <math>A</math>.
{{Solution|contenu=
#<math>\overrightarrow{BC}=(1,2,-1)</math> donc <math>P</math> a pour équation <math>(x-x_A)+2(y-y_A)-(z-z_A)=0</math>, soit <math>x+2y-z=2</math>.
#<math>d(B,P)=\frac{|x_B+2y_B-z_B-2|}\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}=\frac{|-2-10+2-2|}\sqrt6=\frac{12}\sqrt6=2\sqrt6</math>.
#Soit <math>\{H\}=P\cap(BC)</math>. On sait déjà que <math>BH=2\sqrt6</math>. Le théorème de Pythagore donne : <math>d(A,(BC))=AH=\sqrt{AB^2-AH^2}</math>. Or <math>AB^2=3^2+6^2+3^2=54</math>. Donc <math>d(A,(BC))=\sqrt{54-24}=\sqrt{30}</math>.
}}