« Produit scalaire dans l'espace/Applications du produit scalaire » : différence entre les versions
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== Équation cartésienne d'un plan
{{Propriété
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== Distance d'un point à un plan
{{Propriété|contenu=▼
Soit <math>P</math> un plan et <math>A</math> un point de l'espace. ▼
La (plus courte) distance du point <math>A</math> au plan <math>P</math> est la distance <math>AH</math>, où <math>H</math> est le projeté orthogonal de <math>A</math> sur <math>P</math>.▼
▲{{Propriété
▲Soit P un plan et A un point de l'espace.
Dans un repère orthonormé, si <math>P</math> a pour équation cartésienne <math>ax+by+cz+d=0</math>, cette distance vaut : ▼
▲La (plus courte) distance du point A au plan P est la distance AH, où H est le projeté orthogonal de A sur P.
}}▼
{{Démonstration déroulante|contenu=
Le vecteur <math>\overrightarrow{AH}</math> est normal à <math>P</math> donc colinéaire à <math>\vec n:=(a,b,c)</math>.
Le réel <math>\lambda</math> tel que <math>H=A+\lambda\vec n\in P</math> est la solution de l'équation
▲Dans un repère orthonormé, si P a pour équation cartésienne <math>ax+by+cz+d=0</math>,
:<math>a(x_A+\lambda a)+b(y_A+\lambda b)+c(z_A+\lambda c)+d=0</math>,
[[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]]
:<math>\lambda=-\frac{ax_A+by_A+cz_A+d}{a^2+b^2+c^2}</math>.
:<math>AH=|\lambda|\|\vec n\|=\frac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{a^2+b^2+c^2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\frac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}\sqrt{a^2+b^2+c^2}</math>.
}}
▲<math>AH=\frac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} </math>
▲}}
== Inéquation caractérisant un demi-espace
{{Propriété
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