« Produit scalaire dans l'espace/Exercices/Exercices » : différence entre les versions
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→Exercice 2 : +1 |
→Exercice 3 : +variante |
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Ligne 48 :
#<math>\overrightarrow{BC}=(1,2,-1)</math> donc <math>P</math> a pour équation <math>(x-x_A)+2(y-y_A)-(z-z_A)=0</math>, soit <math>x+2y-z=2</math>.
#<math>d(B,P)=\frac{|x_B+2y_B-z_B-2|}\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}=\frac{|-2-10+2-2|}\sqrt6=\frac{12}\sqrt6=2\sqrt6</math>.
#Soit <math>\{H\}=P\cap(BC)</math>. On sait déjà que <math>BH=2\sqrt6</math>. Le théorème de Pythagore donne : <math>d(A,(BC))=AH=\sqrt{AB^2-AH^2}</math>. Or <math>AB^2=3^2+6^2+3^2=54</math>. Donc <math>d(A,(BC))=\sqrt{54-24}=\sqrt{30}</math>.<br>Alternativement, on peut calculer directement les coordonnées du vecteur <math>\overrightarrow{AH}</math>, puis sa norme : <math>H=B+\lambda\overrightarrow{BC}\in P</math> pour <math>\lambda=-\frac{x_B+2y_B-z_B-2}{1^2+2^2+(-1)^2}=-\frac{-2-10+2-2}6=2</math>, donc <math>\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}=(-3,-6,-3)+2(1,2,-1)=(-1,-2,-5)</math> et <math>AH=\sqrt{1+4+25}=\sqrt{30}</math>.
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