« Systèmes de Cramer/Exercices/Systèmes à paramètre » : différence entre les versions
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Ligne 50 :
#**si <math>a+b+c\ne0</math>, <math>(S)</math> n'a pas de solution ;
#**si <math>a=-b-c</math>, l'ensemble des solutions de <math>(S)</math> est la droite affine<br><math>\left\{\left.\left(\frac{3b+c}7+y,y,\frac{b-2c}7+y\right)\right|y\in\R\right\}=\left(\frac{3b+c}7,0,\frac{b-2c}7\right)+\R(1,1,1)</math>.
}}
=== Exercice 3===
Résoudre, en fonction du paramètre <math>m\in\R</math>, le système
:<math>\begin{cases}x+my+m^2z+m^3t=1\\ mx+m^2y+m^3z+mt=1\\ m^2x+m^3y+z+mt=1\\ m^3x+y+mz+m^2t=1.\end{cases}</math>
{{Solution|contenu=
Par la méthode du pivot de Gauss, le système se ramène à
:<math>\begin{cases}x+my+m^2z+m^3t=1\\(1-m^4)(y+mz+m^2t)=1-m^3\\(1-m^4)(z+mt)=1-m^2\\(1-m^4)t=1-m.\end{cases}</math>
*Si <math>m\ne\pm1</math>, son unique solution est donc <math>x=y=z=t=\frac{1-m}{1-m^4}</math>.
*Si <math>m=-1</math>, la dernière équation est <math>0t=2</math> donc le système n'a pas de solution.
*Si <math>m=1</math>, le système équivaut à <math>x+y+z+t=1</math> donc il a une infinité de solutions : <math>(1-y-z-t,y,z,t)</math> avec <math>y,z,t</math> réels arbitraires.
}}
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