« Matrice/Exercices/Produit matriciel » : différence entre les versions

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Ligne 166 :
Pour tout <math>i</math> de <math>1</math> à <math>n</math>, <math>A(e_i)\in E_{i-1}</math> donc pour tout <math>k</math> de <math>1</math> à <math>n</math>, <math>A(E_k)\subset E_{k-1}</math> et ''a fortiori'', <math>A^k(E_k)=A^{k-1}(A(E_k))\subset A^{k-1}(E_{k-1})</math>. Par conséquent :
:<math>A^n(K^n)=A^n(E_n)\subset A^{n-1}(E_{n-1})\subset\dots\subset A(E_1)\subset E_0=\operatorname{Vect}(\varnothing)=\{0\}</math>.
}}
Soit <math>A=\begin{pmatrix}0&a&b\\0&0&c\\0&0&0\end{pmatrix}</math> avec <math>a,b,c\in\R</math>.
#Calculer <math>A^2</math> et <math>A^3</math>.
#En déduire la matrice inverse de <math>\mathrm I_3-A</math>.
{{Solution|contenu=
#<math>A^2=\begin{pmatrix}0&0&ac\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math> et <math>A^3=0</math>.
#<math>\mathrm I_3=\mathrm I_3-A^3=(\mathrm I_3-A)(\mathrm I_3+A+A^2)</math> donc <math>(\mathrm I_3-A)^{-1}=\mathrm I_3+A+A^2=\begin{pmatrix}1&a&b+ac\\0&1&c\\0&0&1\end{pmatrix}</math>.
}}