« Application linéaire/Exercices/Projecteurs, symétries » : différence entre les versions

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#<math>p(e_1)=e_1</math>, <math>p(e_2)=e_2</math> et <math>p(e_3)=\vec0</math> donc <math>\mathrm{Mat}(p,\varepsilon',\varepsilon')=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math>. <math>A</math> est caractérisée par :<br><math>\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\Leftrightarrow\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}\in P</math> et <math>\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in D\Leftrightarrow\begin{cases}z'=2x'+y'\\y'-y=x'-x\\z'-z=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}2x'+y'=z\\y'-x'=y-x\\z'=z\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x'=\frac{x-y+z}3\\y'=\frac{-2x+2y+z}3\\z'=z\end{cases}</math><br>donc <math>A=\begin{pmatrix}1/3&-1/3&1/3\\-2/3&2/3&1/3\\0&0&1\end{pmatrix}</math>. On vérifie par le calcul que <math>A^2=A</math>, ce qui est normal puisque <math>p\circ p=p</math>.
#Si <math>u=v+w</math> avec <math>v\in P</math> et <math>w\in D</math> alors <math>p(u)=v</math> et <math>s(u)=v-w=2v-u</math>, donc<br><math>s=2p-\mathrm{id}</math>, <math>\mathrm{Mat}(s,\varepsilon',\varepsilon')=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}</math> et <math>B=2A-\mathrm I_3=\begin{pmatrix}-1/3&-2/3&2/3\\-4/3&1/3&2/3\\0&0&1\end{pmatrix}</math>.<br>On vérifie par le calcul que <math>B^2=\mathrm I_3</math> et <math>AB=BA=A</math>, ce qui est normal puisque <math>s\circ s=\mathrm{id}</math> et <math>p\circ s=s\circ p=p</math>.
}}
 
==Exercice 3-6==
Soient <math>\R^2</math> l'espace euclidien usuel et <math>f:\R^2\to\R^2,\;(x,y)\mapsto\frac12(x-y,-x+y)</math>.
#Montrer que <math>f</math> est linéaire et donner sa matrice dans la base canonique de <math>\R^2</math>.
#Donner une base de son noyau et une base de son image.
#Donner une base du supplémentaire orthogonal de <math>\ker f</math>.
#Montrer qu'il existe une base orthonormée de <math>\R^2</math> dans laquelle la matrice de <math>f</math> est <math>\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}</math>.
{{Solution|contenu=
#Soit <math>A=\frac12\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}</math>. On a <math>f\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}</math> donc <math>f</math> est linéaire, de matrice <math>A</math> dans la base canonique.
#<math>\ker f</math> est la droite dirigée par le vecteur <math>u:=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}</math> et <math>\operatorname{im} f</math> est la droite dirigée par le vecteur <math>v:=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}</math>.
#Ces deux vecteurs sont orthogonaux donc le supplémentaire orthogonal de <math>\ker f</math> est <math>\operatorname{im} f</math> (dont on vient de donner une base). (<math>f</math> est donc la projection orthogonale sur la droite engendrée par <math>v</math>.)
#<math>f(v)=v</math>, <math>f(u)=0</math> et <math>\|u\|=\|v\|=\sqrt2</math>, donc une solution est <math>(v/\sqrt2,u/\sqrt2)</math>.
}}