« Translation et homothétie/Exercices/Composition d'homothéties et de translations » : différence entre les versions

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#<math>g\circ f</math> est la translation de vecteur <math>\vec{AI}</math>, où <math>I:=g\circ f(A)=g(A)</math> est le milieu de <math>[AB]</math>.
#<math>g\circ f</math> est l'homothétie de rapport <math>-\frac32</math> qui envoie <math>A</math> sur <math>g(A)=B-\frac12\vec{BA}</math>. Son centre est donc le point <math>\Omega</math> tel que <math>\vec{\Omega B}-\frac12\vec{BA}=-\frac32\vec{\Omega A}</math>, soit <math>\Omega=A+\frac35\vec{AB}</math>.
#<math>g\circ f</math> est l'homothétie de rapport <math>2</math> qui envoie <math>A</math> sur <math>B</math>. Son centre est donc le point <math>\Omega</math> tel que <math>\vec{\Omega B}=2\vec{\Omega A}</math>, [[wikt:c'est.-à-dired.|c.-à-d.]] le symétrique de <math>B</math> par rapport à <math>A</math>.
#<math>g\circ f</math> est l'homothétie de rapport <math>-3</math> qui envoie <math>B-2\vec{AB}</math> sur <math>B</math>. Son centre est donc le point <math>\Omega</math> tel que <math>\vec{\Omega B}=-3\left(\vec{\Omega B}-2\vec{AB}\right)</math>, soit <math>\Omega=A-\frac12\vec{AB}</math>.
}}
*<math>h</math> une homothétie, de centre <math>A</math> et de rapport <math>k</math> ;
*<math>t</math> une translation, de vecteur <math>\vec u</math>.
 
Montrer que dans le cas général, <math>t\circ h\ne h\circ t</math>. Dans quels cas a-t-on l'égalité ?
{{Solution|contenu=
Pour tout point <math>M</math>, on a <math>t(M)=M+\vec u</math> et <math>\overrightarrow{Ah(M)}=k\overrightarrow{AM}</math>.
 
On en déduit : <math>\overrightarrow{A\,t\circ h(M)}=\overrightarrow{Ah(M)}+\vec u=k\overrightarrow{AM}+\vec u</math> et <math>\overrightarrow{A\,h\circ t(M)}=k\overrightarrow{At(M)}=k(\overrightarrow{AM}+\vec u)</math>.
 
On a donc égalité si et seulement si <math>\vec u=k\vec u</math>, [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] <math>\vec u=\vec0</math> ou k=1, c.-à-d. <math>t=\mathrm{id}</math> ou <math>h=\mathrm{id}</math>.
}}
On rappelle que <math>t\circ h</math> et <math>h\circ t</math> sont des homothéties de rapport <math>k</math>.
NousEn supposant <math>k\ne1</math>, nous noterons :
*<math>I</math> le centre de <math>t\circ h</math> ;
*<math>J</math> celui de <math>h\circ t</math> ;
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