« Application linéaire/Exercices/Application directe » : différence entre les versions

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→‎Automorphisme : simplif sol +2e partie
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\end{matrix}</math>
est un automorphisme de <math>\R^2</math> et calculer l'automorphisme réciproque.
 
{{Solution|contenu=
<math>u</math> est l'application linéaire de matrice <math>\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}</math>.
<math>u</math> est linéaire, pour la même raison que l'application <math>u_4</math> de l'exercice précédent : <math>u(v)=\left(f(v),g(v)\right)</math> où <math>f</math> et <math>g</math> sont les formes linéaires produit scalaire par <math>(1,1)</math> et par <math>(1,-1)</math>.
 
<math>u(x,y)=(x',y')\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x+y=x'\\x-y=y'\end{matrix}\right\}\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x=\frac{x'+y'}2\\y=\frac{x'-y'}2\end{matrix}\right.</math>
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Autrement dit : <math>u^2=2\operatorname{Id}_{\R^2}</math>, ou encore : <math>\left(\tfrac1{\sqrt2}u\right)^2=\operatorname{Id}_{\R^2}</math>, c'est-à-dire que <math>\tfrac1{\sqrt2}u</math> est une [[Application linéaire/Projecteurs, symétries#Symétries|symétrie]].
}}
Montrer que l'application <math>f:K^3\to K^3</math> définie par <math>f\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x - 2y + 2z\\ x + 2y - z\\ -y + z\end{pmatrix}</math> est bijective et calculer son inverse.
{{Solution|contenu=
:<math>f\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x - 2y + 2z=x'\\ x + 2y - z=y'\\ -y + z=z'\end{matrix}\right\}\Leftrightarrow\begin{cases}
x&=x'-2z'\\y&=-x'+y'+3z'\\z&=-x'+y'+4z'\end{cases}</math>
donc <math>f</math> est bijective et sa bijection réciproque est donnée par
:<math>f^{-1}\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x'-2z'\\-x'+y'+3z'\\-x'+y'+4z'\end{pmatrix}</math>.
}}