« Application linéaire/Exercices/Application directe » : différence entre les versions

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}}
 
== Automorphisme Bijectivité==
 
Montrer que l’applicationl'application
:<math>\begin{matrix}
u&:&\R^2&\to&\R^2\\
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donc <math>f</math> est bijective et sa bijection réciproque est donnée par
:<math>f^{-1}\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x'-2z'\\-x'+y'+3z'\\-x'+y'+4z'\end{pmatrix}</math>.
}}
Soit <math>d\in\N</math>.
#Soient <math>t_0, \ldots, t_d \in K</math> deux à deux distincts et <math>f:K_d[X]\to K^{d+1}</math> l'application définie par <math>f(p) = (p(t_0), \ldots, p(t_d))</math>. Montrer que <math>f</math> est linéaire et bijective.
#Soient <math>t_k = \cos(k\pi/d),\;k= 0, \ldots, d</math>. Montrer qu'il existe un unique polynôme <math>T_d\in\R_d[X]</math> tel que <math>T_d(t_k) = (-1)^k,\;k= 0, \ldots, d</math>. Calculer <math>T_1</math>, <math>T_2</math> et <math>T_3</math>.
{{Solution|contenu=
#<math>f</math> est linéaire car ses <math>d+1</math> composantes (évaluation en un point) le sont. Son noyau est réduit à <math>\{0\}</math> car un polynôme non nul de degré <math>\le d</math> ne peut pas avoir <math>d+1</math> racines. Elle est donc injective. Comme ses espaces de départ et d'arrivée ont même dimension (<math>d+1</math>), elle est finalement bijective. Voir aussi [[Analyse numérique et calcul scientifique/Interpolation polynomiale#Interpolation Lagrangienne|Interpolation de Lagrange]].
#L'existence et l'unicité de <math>T_d</math> sont garanties par la bijectivité de <math>f</math>. Voir aussi [[Sommation/Exercices/Formule_du_binôme#Exercice_5-11| Polynômes de Tchebychev]].
#*<math>T_1\in\R_1[X],\;T_1(1)=1,\;T_1(-1)=-1\Leftrightarrow T_1(X)=X</math>.
#*<math>T_2\in\R_2[X],\;T_2(1)=1,\;T_2(0)=-1,\;T_2(-1)=1\Leftrightarrow T_2(X)=2X^2-1</math>.
#*<math>T_3\in\R_2[X],\;T_3(1)=1,\;T_3(1/2)=-1,\;T_3(-1/2)=1,\;T_3(-1)=-1\Leftrightarrow T_3(X)=4X^3-3X</math>.
}}