« Application linéaire/Exercices/Noyau et image » : différence entre les versions
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→Exercice 2-8 : +1 |
→Exercice 2-4 : +1 question |
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Ligne 47 :
#s'il existe au moins un <math>n</math> tel que <math>\operatorname{im}\left(\varphi^n\right)=\operatorname{im}\left(\varphi^{n+1}\right)</math> alors la suite des images est strictement décroissante jusqu'à un certain rang <math>q</math>, puis constante à partir de ce rang ;
#si les deux suites stationnent alors <math>E=\ker(\varphi^q)\oplus\operatorname{im}(\varphi^p)</math> et <math>p=q</math> ;
#si <math>E</math> est de dimension finie alors les deux suites stationnent et l'entier <math>p=q</math> est au plus égal à <math>\dim(E)</math>
#si <math>E</math> est de dimension infinie alors les deux sous-espaces <math>\cup_{n\in\N}\ker\varphi^n</math> et <math>\cap_{n\in\N}\operatorname{im}(\varphi^n)</math> ne sont plus nécessairement supplémentaires.
{{Solution|contenu=
Ligne 58 ⟶ 59 :
#:Dans les deux cas, on peut donc conclure : <math>p=q</math>.
#Si <math>E</math> est de dimension finie <math>n</math>, on ne peut pas avoir <math>\{0\}\subsetneq\ker\left(\varphi\right)\subsetneq\ker\left(\varphi^2\right)\subsetneq\dots\subsetneq\ker\left(\varphi^{n+1}\right)</math>, car <math>\dim\left(\ker\left(\varphi^{n+1}\right)\right)\le n</math>. Donc la suite des noyaux stationne à partir d'un rang <math>p\le n</math>. On démontre de même que la suite des images stationne à partir d'un rang <math>q\le n</math>.
#Considérons <math>E=\R[X]</math> et <math>\varphi=</math> la dérivation. Alors, <math>\cup_{n\in\N}\ker\varphi^n=\cap_{n\in\N}\operatorname{im}(\varphi^n)=E</math> (et seule la suite des images stationne). Ou encore : <math>\varphi=</math> la multiplication par <math>X</math>. Alors, <math>\cup_{n\in\N}\ker\varphi^n=\cap_{n\in\N}\operatorname{im}(\varphi^n)=\{0\}</math> (et seule la suite des noyaux stationne).
}}
== Exercice 2-5 ==
Les applications suivantes sont-elles linéaires ?
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