« Continuité et variations/Exercices/Théorème des valeurs intermédiaires » : différence entre les versions
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Ligne 148 :
Montrer qu'il existe un réel <math>\beta\ge1</math> tel que <math>f(\beta)=4\operatorname e^5\beta^7</math>.
<math>f</math>
{{Solution|contenu=▼
Cette équation équivaut à <math>g(\beta)=4\operatorname e^5</math>, en posant <math>g(x)=\frac{2\operatorname e^{x^2+2x}}{x^7}</math>.
Ligne 154 :
Puisque <math>g(1)\le4\operatorname e^5\le g(b)</math> et que <math>g</math> est continue sur <math>[1,b]</math>, il existe (d'après le T.V.I.) un réel <math>\beta\in[1,b]</math> tel que <math>g(\beta)=4\operatorname e^5</math>.
}}
==Exercice 2-5==
On s'intéresse à la recherche des solutions de <math>f(x)=0</math> pour <math>f</math> définie par
:<math>f(x)=3x^3+11x^2+5x-3</math>.
#Montrer qu'il existe une unique solution <math>r</math> dans <math>\left]0,1\right[</math>.
#Utiliser la dichotomie pour localiser <math>r</math> dans un intervalle <math>I</math> de longueur <math>\le\frac14</math>.
#Tracer l'allure du graphe de <math>f</math> sur <math>I</math>.
#En déduire le point de départ et le [[w:Méthode de Newton|schéma de Newton]] adapté à <math>f</math> dans l'intervalle <math>I</math>. On prendra soin de bien expliciter la relation de récurrence.
#Calculer les premiers itérés de la méthode de Newton et en déduire ''en justifiant'' les 6 premières décimales exactes de <math>r</math>.
▲{{Solution|contenu=
#L'existence de <math>r</math> est garantie par le théorème des valeurs intermédiaires, car <math>f</math> est continue sur <math>\left[0,1\right]</math>, strictement négative en <math>0</math> et strictement positive en <math>1</math>. Justifions l'unicité en montrant que <math>f</math> est strictement monotone sur cet intervalle. <math>f'(x)=9x^2+22x+5>0</math> sur <math>\R_+</math> car ses deux racines sont <math><0</math>, puisque leur produit <math>\frac59>0</math> et leur somme est <math>-\frac{22}9<0</math>.
#<math>f\left(\frac12\right)=\frac{21}8>0</math> donc <math>r\in\left]0,\frac12\right[</math>.<br><math>f\left(\frac14\right)=-\frac{65}{4^3}<0</math> donc <math>r\in\left]\frac14,\frac12\right[=:I</math>.
#<math>f''(x)=18x+22>0</math> sur <math>I</math>, <math>f'\left(\frac14\right)=\frac{177}{16}\approx11</math>, <math>f\left(\frac12\right)=\frac{73}4\approx18</math>. [https://www.google.com/search?q=3x^3%2B11x^2%2B5x-3%2C(177%2F16)*(x-1%2F4)-65%2F4^3%2C(73%2F4)*(x-1%2F2)%2B21%2F8 Graphe et tangentes].
#<math>f</math> est [[Fonctions convexes|convexe]] et croissante donc il vaut mieux partir de <math>x_0=\frac12</math>. <math>x_{n+1}=g(x_n)</math> avec <math>g(x)=x-\frac{f(x)}{f'(x)}=\frac{6x^3+11x^2+3}{9x^2+22x+5}</math>.
#<math>x_1\approx0{,}356\,164\,383\,6</math>, <math>x_2\approx0{,}333\,860\,545\,7</math>, <math>x_3\approx0{,}333\,333\,624\,9</math>, <math>x_4\approx0{,}333\,333\,333\,3</math>… tiens donc ! <math>r</math> ne serait-il pas égal à <math>\frac13</math> ? Vérifions : <math>f\left(\frac13\right)=\frac{3+11\times3+5\times3^2-3\times3^3}{27}=\frac{1+11+15-27}9=0</math>. Donc <math>r\approx r_0:=0{,}333\,333</math>, à <math>10^{-6}</math> près par défaut. (On peut aussi justifier cette approximation <math>r_0</math> en vérifiant que <math>f(r_0)<0</math> et <math>f(r_0+10^{-6}>0)</math>.)
Remarquons qu'on pouvait trouver directement <math>r=\frac13</math> par [[Équation du troisième degré/Généralités sur les équations du troisième degré#Recherche d'une racine évidente|recherche d'une solution rationnelle <math>\frac pq</math> de l'équation]] : si <math>3p^3+11p^2q+5pq^2-3q^3=0</math> avec <math>p,q</math> entiers premiers entre eux, alors <math>p</math> et <math>q</math> divisent <math>3</math> donc <math>\frac pq</math> est égal à <math>\pm1</math>, <math>\pm3</math> ou <math>\pm\frac13</math>, et la seule de ces 6 valeurs qui appartient à <math>\left]0,1\right[</math> est <math>\frac13</math>. Cette approche permet de plus de trouver les deux autres zéros de <math>f</math> (dans <math>\R\setminus\left]0,1\right[)</math> : <math>-1</math> et <math>-3</math>, et donc de factoriser : <math>f(x)=(3x-1)(x+1)(x+3)</math>.
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