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=== Exercice 6-1
Soit <math>n</math> un entier supérieur ou égal à <math>2</math>. Démontrer que pour tous réels <math>x_1,\dots,x_n</math>, on a :
Ligne 23 :
Par exemple, pour <math>n=3</math>, on obtient :
:<math>\forall(a,b,c)\in\R^3\qquad ab+ac+bc\le a^2+b^2+c^2</math>.
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== Exercice 6-2==
Soient <math>a,b,c</math> trois nombres réels strictement positifs. Démontrer l'inégalité suivante :
:<math>\sqrt\frac{2a}{a+b}+\sqrt\frac{2b}{b+c}+\sqrt\frac{2c}{a+c}\le3</math>.
{{Solution|contenu=
D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz, pour tous réels strictement positifs <math>x,y,z</math>, on a
:<math>\sqrt\frac{2a}{a+b}+\sqrt\frac{2b}{b+c}+\sqrt\frac{2c}{a+c}\le\sqrt{\left(\frac{2ax}{a+b}+\frac{2by}{b+c}+\frac{2cz}{a+c}\right)\left(\frac1x+\frac1y+\frac1z\right)}</math>.
Il suffit donc de démontrer que pour <math>x,y,z</math> bien choisis, on a
:<math>\left(\frac{2ax}{a+b}+\frac{2by}{b+c}+\frac{2cz}{a+c}\right)\left(\frac1x+\frac1y+\frac1z\right)\le9</math>.
En posant <math>x=\frac1{a+c},y=\frac1{b+a},z=\frac1{c+b}</math>, l'inégalité à démontrer devient
:<math>\left(\frac a{(a+b)(a+c)}+\frac b{(b+c)(b+a)}+\frac c{(c+a)(c+b)}\right)\left(a+b+c\right)\le\frac94</math>,
ou encore
:<math>a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)\ge6abc</math>,
ce qui équivaut à
:<math>a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2\ge0</math>.
Cette inégalité est donc vraie.
Référence : {{p.|35}} de [https://cut-the-knot.org/arithmetic/algebra/VasileCirtoaje.pdf ''{{Lang|en|Algebraic inequalities}}''] de Vasile Cirtoaje, reproduit par Daniel Collignon dans sa solution de {{Lien web|url=http://www.diophante.fr/problemes-par-themes/arithmetique-et-algebre/a2-algebre-elementaire/5070-a2852-trois-reels-et-trois-racines-carrees-pour-une-inegalite|titre=A2852 — Trois réels et trois racines pour une inégalité|site=le site [http://www.diophante.fr/ Diophante.fr]}}, géré par Philippe Fondanaiche.
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