« Fonctions d'une variable complexe/Exercices/Fonctions holomorphes » : différence entre les versions

→‎Exercice 3-2 : début de l'exo 3
(Transcription d'un énoncé d'examen de l'université Toulouse 3 (1998) : exos 1 et 2 (sur 3))
 
(→‎Exercice 3-2 : début de l'exo 3)
#Montrer que cette formule reste valable si <math>f</math> est holomorphe sur <math>\mathbb D:=\mathbb D_1</math> et continue sur <math>\overline{\mathbb D}</math> (considérer, pour <math>r>1</math>, la fonction <math>f_r(z):=f(z/r)</math>).
#Soit <math>f</math> une fonction holomorphe sur <math>\mathbb D</math> et continue sur <math>\overline{\mathbb D}</math> telle que <math>\overline{f(z)}=f(z)</math> si <math>|z|=1</math>. Que peut-on dire de <math>f</math> ?
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==Exercice 3-3==
Soient <math>P,Q\in\C[z]</math> deux polynômes d'une variable complexe à coefficients complexes, sans zéro commun. On définit la fraction rationnelle <math>R</math> en posant
:<math>R(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}</math> si <math>z\in\C\setminus\{b_1,\dots,b_q\}</math>
où <math>b_1,\dots,b_q</math> sont les pôles de <math>R</math>, [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] les zéros de <math>Q</math>.
 
On désignera par <math>\overline\C:=\C\cup\{\infty\}</math> le plan complexe compactifié et l'on adoptera la convention d'écriture suivante : <math>\frac10=\infty</math> et <math>\frac1\infty=0</math>.
#
##Montrer que <math>R</math> se prolonge en une application continue de <math>\overline\C</math> dans <math>\overline\C</math>, que l'on notera encore <math>R</math>. Quelles sont les images des pôles <math>b_1,\dots,b_q</math> par le prolongement <math>R</math> ?
##Rappeler pourquoi deux fonctions <math>R_1</math> et <math>R_2</math> de la variable complexe qui coïncident en tout point d'un ensemble infini de <math>\overline\C</math>, coïncident partout sur <math>\overline\C</math>.
##:''Dans toute la suite'', on suppose que <math>R</math> est une fraction rationnelle de la variable complexe <math>z</math> vérifiant la propriété suivante :
##:<math>(*)\qquad|R(z)|=1</math> si <math>|z|=1</math>.
#Pour chaque point <math>a\in\C</math>, on pose
#:<math>\varphi_a(z):=\frac{z-a}{1-\overline az},\quad\forall z\in\overline\C</math>
#:et <math>\varphi_\infty(z):=\frac1z,\quad\forall z\in\overline\C</math>.
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