« Fonctions d'une variable complexe/Exercices/Fonctions holomorphes » : différence entre les versions
Fonctions d'une variable complexe/Exercices/Fonctions holomorphes (modifier)
Version du 15 septembre 2021 à 12:06
, il y a 2 ans→Exercice 3-3 : fin d'énoncé
(→Exercice 3-2 : début de l'exo 3) |
(→Exercice 3-3 : fin d'énoncé) |
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##:<math>(*)\qquad|R(z)|=1</math> si <math>|z|=1</math>.
#Pour chaque point <math>a\in\C</math>, on pose
#:<math>\varphi_a(z):=\frac{z-a}{1-\overline az}\quad\text{et}\quad\varphi_\infty(z):=\frac1z,\quad\forall z\in\overline\C</math>.
#:On suppose dans cette question que <math>R</math> est une [[Fonctions homographiques|homographie]] <math>h</math> qui vérifie <math>(*)</math>. Montrer qu'il existe <math>\alpha\in\R</math> et <math>a\in\overline\C</math> tels que <math>h(z)=\operatorname e^{\mathrm i\alpha}\varphi_a(z)</math> pour tout <math>z\in\overline\C</math>.
#:et <math>\varphi_\infty(z):=\frac1z,\quad\forall z\in\overline\C</math>.▼
#On revient au cas général d'une fraction rationnelle <math>R</math> vérifiant <math>(*)</math> et l'on définit la fonction suivante :
▲#:
#:où <math>\overline R(w)</math> désigne le conjugué de <math>R(w)</math>. Montrer que <math>S</math> est une fraction rationnelle de la variable complexe <math>z</math> vérifiant <math>S(z)=R(z)</math> pour <math>|z|=1</math>. Comparer <math>S</math> et <math>R</math> sur <math>\C</math>.
#
##Montrer qu'un élément <math>a\in\C\setminus\{0\}</math> est un zéro de <math>R</math> si et seulement si <math>1/\overline a</math> est un pôle de <math>R</math>. Interpréter géométriquement ce résultat.
##Montrer que si <math>R(0)\ne0</math> et <math>R(0)\ne\infty</math>, alors il existe <math>\alpha\in\R</math> tel que R s'écrive sous la forme
##:<math>R(z)=\operatorname e^{\mathrm i\alpha}\prod_{k=1}^m\frac{z-a_k}{1-\overline{a_k}z},\quad\forall z\in\overline\C</math>
##:où <math>a_1,\dots,a_m</math> sont les zéros de <math>R</math> comptés avec leur multiplicité.
#Déterminer toutes les fractions rationnelles de la variable <math>z</math> qui vérifient la condition <math>(*)</math>
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