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Exercice : Dual topologiqueEspaces de Banach/Exercices/Dual topologique », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
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Exercice 1-1
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On rappelle que
ℓ
p
:=
ℓ
p
(
N
,
C
)
{\displaystyle \ell ^{p}:=\ell ^{p}(\mathbb {N} ,\mathbb {C} )}
,
1
<
p
<
∞
{\displaystyle 1<p<\infty }
désigne l'espace des suites
x
=
(
x
n
)
{\displaystyle x=(x_{n})}
de nombres complexes telles que
‖
x
‖
p
:=
(
∑
n
∈
N
|
x
n
|
p
)
1
/
p
<
∞
{\displaystyle \|x\|_{p}:=\left(\sum _{n\in \mathbb {N} }|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}<\infty }
.
Toute forme linéaire continue
T
∈
(
ℓ
p
)
′
{\displaystyle T\in \left(\ell ^{p}\right)'}
peut s'écrire
T
x
=
∑
n
∈
N
x
n
y
n
,
∀
x
=
(
x
n
)
∈
ℓ
p
{\displaystyle Tx=\sum _{n\in \mathbb {N} }x_{n}y_{n},\quad \forall x=(x_{n})\in \ell ^{p}}
où
y
=
(
y
n
)
∈
ℓ
q
{\displaystyle y=(y_{n})\in \ell ^{q}}
avec
1
p
+
1
q
=
1
{\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}
.
Montrer que dans l'espace
ℓ
q
{\displaystyle \ell ^{q}}
, le sous-espace des suites de support fini est dense.
Montrer qu'une suite
(
x
k
)
k
{\displaystyle (x_{k})_{k}}
d'éléments
x
k
=
(
x
k
,
n
)
n
{\displaystyle x_{k}=(x_{k,n})_{n}}
de
ℓ
p
{\displaystyle \ell ^{p}}
converge faiblement vers
x
=
(
x
n
)
n
∈
ℓ
p
{\displaystyle x=(x_{n})_{n}\in \ell ^{p}}
si et seulement si elle vérifie les deux conditions suivantes :
la suite
(
x
k
)
k
{\displaystyle (x_{k})_{k}}
est bornée ;
pour tout entier
n
{\displaystyle n}
, la suite
(
x
k
,
n
)
k
{\displaystyle (x_{k,n})_{k}}
converge vers
x
n
{\displaystyle x_{n}}
(dans
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
).
En déduire que toute suite bornée de
ℓ
p
{\displaystyle \ell ^{p}}
admet une sous-suite faiblement convergente.
Solution
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu
» du modèle. Comment faire ?