« Espaces de Banach/Exercices/Dual topologique » : différence entre les versions
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→Exercice 1-1 : Sol |
→Exercice 1-2 : sol |
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Ligne 33 :
#En déduire que toute suite bornée de <math>\ell^p</math> admet une sous-suite faiblement convergente.
{{Solution|contenu=
#Tout élément <math>x=(x_n)\in\ell^q</math> est limite d'une suite <math>(x_k)_k</math> d'éléments <math>x_k=(x_{k,n})_n\in\ell^q</math> à support fini : <math>x_{k,n}=\begin{cases}x_n&\text{si }n<k\\0&\text{si }n\ge k\end{cases}</math>.
#Si <math>x_k\to x</math> faiblement dans <math>\ell^p</math>, c'est-à-dire si pour tout <math>y=(y_n)\in\ell^q</math>, <math>\sum_{n\in\N}x_{k,n}y_n\to\sum_{n\in\N}x_ny_n</math> alors pour tout <math>y=(y_n)\in\ell^q</math>, <math>\left(\sum_{n\in\N}x_{k,n}y_n\right)_k</math> est bornée. D'après le {{w|théorème de Banach-Steinhaus}}, <math>\left(x_k\right)_k</math> est alors bornée dans l'espace vectoriel normé <math>(\ell^q)'</math>, égal à <math>\ell^p</math> d'après le {{w|théorème de Hahn-Banach}}. De plus, en appliquant l'hypothèse aux suites <math>y</math> dont un terme vaut <math>1</math> et les autres sont nuls, on trouve tout de suite que pour tout <math>n</math>, <math>(x_{k,n})_k\to x_n</math>. Réciproquement, supposons que les conditions 1 et 2 sont remplies. D'après le point 2, pour tout <math>y\in\ell^q</math> à support fini, <math>\sum_{n\in\N}x_{k,n}y_n\to\sum_{n\in\N}x_ny_n</math>. Grâce au point 1 (et à la question 1), on en déduit que <math>x_k\to x</math> faiblement dans <math>\ell^p</math>.
#Soit <math>(x_k)_k</math> une suite bornée de <math>\ell^p</math>. Par récurrence, on construit pour tout <math>j</math> une sous-suite <math>(x_{\varphi_j(k)})_k</math> (extraite de celle au rang précédent) telle que pour tout <math>n\le j</math>, <math>x_{\varphi_j(k),n}\to x_n</math>. Puis on applique le « procédé diagonal » : <math>(x_{\varphi_k(k)})_k</math> vérifie la condition 2, et bien sûr la condition 1. On conclut grâce à la question précédente.
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