« Espaces de Banach/Exercices/Algèbres de Banach » : différence entre les versions
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→Exercice 2-1 : solution en cours |
→Exercice 2-1 : fin de solution |
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Ligne 20 :
#:<math>\|f\|:=\sum_{j=0}^k\frac1{j!}\sup_{0\le t\le1}|\mathrm D^jf(t)|</math>.
##Montrer que cette algèbre vérifie l'hypothèse de la question 2.
##On considère une sous-algèbre <math>E</math> de l'algèbre <math>\mathcal C^\infty([0,1])</math> des fonctions <math>f:[0,1]\to\C</math> de classe <math>\mathcal C^\infty</math> et l'on suppose que sur <math>E</math>, il existe une norme d'algèbre de Banach. Montrer qu'alors, il existe une suite <math>(M_j)</math> de réels
##:<math>\forall f\in E\quad\exists c\ge0\quad\forall j\in\N\quad\sup_{0\le t\le1}|\mathrm D^jf(t)|\le cM_j</math>
##:(appliquer la question 3.2 à l'injection canonique de <math>E</math> dans <math>\mathcal C^k</math>).
Ligne 32 :
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##Soit <math>f\in\mathcal C^k</math> non nulle. Soit <math>t\in[0,1]</math> tel que <math>\lambda:=f(t)\ne0</math>. Alors, <math>\lambda e-f</math> n'est pas inversible.
##Soit <math>N</math> la norme sur <math>E</math>. Pour tout entier <math>k</math>, par continuité de l'injection canonique de <math>E</math> dans <math>\mathcal C^k</math>, il existe un réel <math>A_k</math> tel que<br><math>\forall f\in E\quad\frac1{k!}\sup_{0\le t\le1}|\mathrm D^kf(t)|\le\sum_{j=0}^k\frac1{j!}\sup_{0\le t\le1}|\mathrm D^jf(t)|\le A_kN(f)</math>,<br>d'où le résultat, en posant <math>M_k=k!A_k</math> et <math>c=N(f)</math>.
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