« Espaces de Banach/Exercices/Topologie » : différence entre les versions
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==Exercice 4-1==
Soient <math>X</math> un espace métrique, <math>E</math> un espace de Banach et <math>\mu\in
#Pour <math>a\in X</math>, on pose <math>\|f\|_a=\|f(a)\|+\sup_{x\ne y}\frac{\|f(x)-f(y)\|}{d(x,y)^\mu}</math>. Montrer que les normes <math>\|~\|_a</math> sur <math>\operatorname{Hold}^{0,\mu}(X,E)</math> sont [[Espaces vectoriels normés/Définitions - Éléments de Topologie#Normes équivalentes|équivalentes]] lorsque a décrit <math>X</math>, et que <math>\operatorname{Hold}^{0,\mu}(X,E)</math> est complet pour elles.
#Si <math>X</math> est borné, montrer que <math>\operatorname{Hold}^{0,\mu}(X,E)\subset\mathcal C_b(X,E)</math> (l'espace des fonctions continues bornées) et que l'injection linéaire canonique est continue lorsqu'on munit <math>\mathcal C_b(X,E)</math> de la topologie de la convergence uniforme.
#Soit <math>\Omega</math> un ouvert
{{Solution|contenu=
#
#*<math>\|f(b)\|\le\|f(a)\|+d(a,b)^\mu\sup_{x\ne y}\frac{\|f(x)-f(y)\|}{d(x,y)^\mu}</math> donc<br><math>\|f\|_b\le\|f(a)\|+(d(a,b)^\mu+1)\sup_{x\ne y}\frac{\|f(x)-f(y)\|}{d(x,y)^\mu}\le(d(a,b)^\mu+1)\|f\|_a</math>,<br>donc les normes <math>\|~\|_a</math> sont équivalentes.
#*Soit <math>(f_n)</math> une suite de Cauchy dans <math>\left(\operatorname{Hold}^{0,\mu}(X,E),\|~\|_a\right)</math>. D'après le point précédent, pour tout <math>b\in X</math>, <math>(f_n(b))</math> est de Cauchy. Notons <math>f(b)\in E</math> sa limite.<br>Soit <math>\varepsilon>0</math>. Il existe <math>N</math> tel que <math>\forall p,q\ge N\quad\|f_p-f_q\|_a\le\varepsilon</math>. Pour tous <math>x,y\in X</math> distincts, on a alors : <math>\forall p,q\ge N\quad\|(f_p-f_q)(a)\|+\frac{\|(f_p-f_q)(x)-(f_p-f_q)(y)\|}{d(x,y)^\mu}\le\varepsilon</math>.<br>Par passage à la limite quand <math>q\to\infty</math> puis au sup sur <math>x,y</math>, on en déduit : <math>\forall p\ge N\quad\|f_p-f\|_a\le\varepsilon</math>.<br>Ainsi, <math>\|f_p-f\|_a\to0</math> (ce qui prouve au passage que <math>\|f\|_a<\infty</math> donc <math>f\in\operatorname{Hold}^{0,\mu}(X,E)</math>), si bien que <math>(f_n)</math> converge dans <math>\left(\operatorname{Hold}^{0,\mu}(X,E),\|~\|_a\right)</math>.
#Soit <math>D</math> le {{w|diamètre}} de <math>X</math>. <math>\forall b\in X\quad\|f(b)\|\le\|f(a)\|+D^\mu\sup_{x\ne y}\frac{\|f(x)-f(y)\|}{d(x,y)^\mu}</math> donc <math>\|f\|_\infty\le\max(1,D^\mu)\|f\|_a</math>.
#[[Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Inégalités|La fonction puissance d'exposant <math>\mu</math> est <math>\mu</math>-höldérienne]] donc les fonctions <math>f_a</math> appartiennent bien à <math>\operatorname{Hold}^{0,\mu}(\Omega,\R)</math>.<br>Pour tous <math>b,c\in\Omega</math>, distincts, <math>\|f_b-f_c\|_a\ge\frac{|(f_b-f_c)(b)-(f_b-f_c)(c)\|}{|b-c|^\mu}=2</math>. Comme <math>\Omega</math> n'est pas dénombrable, cela prouve que <math>\left(\operatorname{Hold}^{0,\mu}(X,E),\|~\|_a\right)</math> n'est pas séparable.
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