« Fonctions d'une variable complexe/Exercices/Fonctions holomorphes » : différence entre les versions
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→Exercice 3-1 : Sol |
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Ligne 13 :
#Écrire le développement en série entière de <math>f</math> au voisinage de <math>0</math> en précisant son rayon de convergence.
{{Solution|contenu=
#<math>G</math> est bien un ouvert connexe de <math>\C</math> : ouvert parce que son complémentaire et une réunion de trois fermés, et [[Topologie générale/Connexité#Définitions et premières propriétés|connexe parce qu'il est même étoilé]].<br><math>z\notin G\Leftrightarrow|z|\ge\sqrt[3]2</math> et <math>(z/|z|)^3=-1\Leftrightarrow|z|^3\ge2</math> et <math>z^3=-|z|^3\Leftrightarrow z^3\in\left]-\infty,-2\right]</math> donc <math>z\in G\Leftrightarrow z^3+2\in\Omega_0</math>.<br><math>g</math> est surjective d'après l'équivalence précédente.
#<math>f'(z)=\frac{g'(z)}{g(z)}=\frac{3z^2}{z^3+2}</math>.
#<math>f'(z)=\frac{3z^2}2\frac1{1+z^3/2}=\frac{3z^2}2\sum_{n=0}^\infty(-z^3/2)^n=3\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}z^{3n+2}</math> (<math>R=\sqrt[3]2</math>) et <math>f(0)=\ln2</math> donc <math>f(z)=\ln2+\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(n+1)2^{n+1}}z^{3n+3}</math>.
}}
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