« Fonctions d'une variable complexe/Exercices/Fonctions holomorphes » : différence entre les versions
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Ligne 31 :
#Soit <math>f</math> une fonction holomorphe sur <math>\mathbb D</math> et continue sur <math>\overline{\mathbb D}</math> telle que <math>\overline{f(z)}=f(z)</math> si <math>|z|=1</math>. Que peut-on dire de <math>f</math> ?
{{Solution|contenu=
#D'après la [[../../Formule intégrale de Cauchy|formule intégrale de Cauchy]], si <math>|z|<1</math> :
##<math>f(z)=\frac1{2\mathrm i\pi}\int_{u=\operatorname e^{\mathrm i\theta},\,\theta\in[0,2\pi]}\frac{f(u)}{u-z} \mathrm du=\frac1{2\mathrm i\pi}\int_0^{2\pi} \frac{f(e^{\mathrm i\theta})}{e^{\mathrm i\theta}-z}\mathrm ie^{\mathrm i\theta}\mathrm d\theta=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{f\left(\operatorname e^{\mathrm i\theta}\right)}{1-z\operatorname e^{-\mathrm i\theta}}\,\mathrm d\theta</math> ;
##<math>0=-\frac1{2\mathrm i\pi}\int_{u=\operatorname e^{\mathrm i\theta},\,\theta\in[0,2\pi]}\frac{f(u)}{u-1/\bar z} \mathrm du=\frac{\bar z}{2\mathrm i\pi}\int_0^{2\pi}\frac{f(e^{\mathrm i\theta})}{1-\bar ze^{\mathrm i\theta}}\mathrm ie^{\mathrm i\theta}\mathrm d\theta=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{f\left(\operatorname e^{\mathrm i\theta}\right)\overline z\operatorname e^{\mathrm i\theta}}{1-\overline z\operatorname e^{\mathrm i\theta}}\,\mathrm d\theta</math>.
{{en cours}}
}}
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