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==Exercice 3-2==
Soit <math>f</math> une fonction holomorphe sur le disque <math>\mathbb D_r:=\{z\in\C\mid|z|<r\}</math> avec <math>r<>1</math>.
#Démontrer les propriétés suivantes :
##<math>f(z)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{f\left(\operatorname e^{\mathrm i\theta}\right)}{1-z\operatorname e^{-\mathrm i\theta}}\,\mathrm d\theta</math> si <math>|z|<1</math> ;
#Montrer que cette formule reste valable si <math>f</math> est holomorphe sur <math>\mathbb D:=\mathbb D_1</math> et continue sur <math>\overline{\mathbb D}</math> (considérer, pour <math>r>1</math>, la fonction <math>f_r(z):=f(z/r)</math>).
#Soit <math>f</math> une fonction holomorphe sur <math>\mathbb D</math> et continue sur <math>\overline{\mathbb D}</math> telle que <math>\overline{f(z)}=f(z)</math> si <math>|z|=1</math>. Que peut-on dire de <math>f</math> ?
{{Solution|contenu={{Wikipédia|Noyau de Poisson}}
#D'après la [[../../Formule intégrale de Cauchy|formule intégrale de Cauchy]], si <math>|z|<1</math> :
##<math>f(z)=\frac1{2\mathrm i\pi}\int_{u=\operatorname e^{\mathrm i\theta},\,\theta\in[0,2\pi]}\frac{f(u)}{u-z} \mathrm du=\frac1{2\mathrm i\pi}\int_0^{2\pi} \frac{f(e^{\mathrm i\theta})}{e^{\mathrm i\theta}-z}\mathrm ie^{\mathrm i\theta}\mathrm d\theta=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{f\left(\operatorname e^{\mathrm i\theta}\right)}{1-z\operatorname e^{-\mathrm i\theta}}\,\mathrm d\theta</math> ;
##<math>0=-\frac1{2\mathrm i\pi}\int_{u=\operatorname e^{\mathrm i\theta},\,\theta\in[0,2\pi]}\frac{f(u)}{u-1/\bar z} \mathrm du=-\frac{\bar z}frac1{2\mathrm i\pi}\int_0^{2\pi}\frac{f(e^{\mathrm i\theta})\bar z}{1-\bar ze^{\mathrm i\theta}-1}\mathrm ie^{\mathrm i\theta}\mathrm d\theta=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{f\left(\operatorname e^{\mathrm i\theta}\right)\overline z\operatorname e^{\mathrm i\theta}}{1-\overline z\operatorname e^{\mathrm i\theta}}\,\mathrm d\theta</math>.
#Immédiat.
{{en cours}}
#Si <math>|z|<1</math>, <math>f_r(z)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f_r\left(\operatorname e^{\mathrm i\theta}\right)\frac{1-|z|^2}{\left|1-z\operatorname e^{-\mathrm i\theta}\right|^2}\,\mathrm d\theta</math>, d'où le résultat en faisant <math>r\to1^+</math>.
#<math>f</math> est réelle donc constante.
}}
 
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