« Fonctions d'une variable complexe/Exercices/Fonctions holomorphes » : différence entre les versions

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##Montrer qu'un élément <math>a\in\C\setminus\{0\}</math> est un zéro de <math>R</math> si et seulement si <math>1/\overline a</math> est un pôle de <math>R</math>. Interpréter géométriquement ce résultat.
##Montrer que si <math>R(0)\ne0</math> et <math>R(0)\ne\infty</math>, alors il existe <math>\alpha\in\R</math> tel que <math>R</math> s'écrive sous la forme
##:<math>R(z)=\operatorname e^{\mathrm i\alpha}\prod_{k=1}^m\frac{z-a_k}{1-\overline{a_k}z},\quad\forall z\in\overline\C</math>
##:où <math>a_1,\dots,a_m</math> sont les zéros de <math>R</math> comptés avec leur multiplicité.
#Déterminer toutes les fractions rationnelles de la variable <math>z</math> qui vérifient la condition <math>(*)</math>.
{{Solution|contenu=
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##<math>\lim_{b_i}R=\infty</math>.
##Rectifier l'énoncé.
#<math>h(z)=\frac{az+b}{cz+d}</math> avec <math>ad-bc\ne0</math> et sans perte de généralité, <math>c=0</math> ou <math>1</math>.
#*Si <math>c=0</math>, <math>h(z)=\frac{az+b}d</math> (avec <math>ad\ne0</math>) vérifie <math>(*)</math> si et seulement si <math>b=0</math> et <math>|a|=|d|</math>, [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] s'il existe <math>\alpha\in\R</math> tel que <math>h(z)=\operatorname e^{\mathrm i\alpha}\varphi_0(z)</math> pour tout <math>z\in\overline\C</math>.
#*Si <math>c=1</math>, <math>h(z)=\frac{az+b}{z+d}</math> (avec <math>b\ne ad</math>) vérifie <math>(*)</math> si et seulement si <math>d=\bar ab</math> et <math>|b|=1</math>, c.-à-d. s'il existe <math>\alpha\in\R</math> et <math>e\in\overline\C^*</math> tels que <math>h(z)=\operatorname e^{\mathrm i\alpha}\varphi_e(z)</math> pour tout <math>z\in\overline\C</math>.
{{en cours}}
}}
 
 
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