« Fonctions d'une variable complexe/Exercices/Fonctions holomorphes » : différence entre les versions

(→‎Exercice 3-3 : début de sol)
(→‎Exercice 3-3 : suite)
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##Montrer que <math>R</math> se prolonge en une application continue de <math>\overline\C</math> dans <math>\overline\C</math>, que l'on notera encore <math>R</math>. Quelles sont les images des pôles <math>b_1,\dots,b_q</math> par le prolongement <math>R</math> ?
##Rappeler pourquoi deux fonctionsfractions rationnelles <math>R_1</math> et <math>R_2</math> de la variable complexe qui coïncident en tout point d'un ensemble infini de <math>\overline\C</math>, coïncident partout sur <math>\overline\C</math>.
##:''Dans toute la suite'', on suppose que <math>R</math> est une fraction rationnelle de la variable complexe <math>z</math> vérifiant la propriété suivante :
##:<math>(*)\qquad|R(z)|=1</math> si <math>|z|=1</math>.
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##<math>\lim_{b_i}R=\infty</math>.
##Si deux fractions rationnelles <math>R_1=\frac{P_1}{Q_1}</math> et <math>R_1=\frac{P_1}{Q_1}</math> coïncident sur un ensemble infini alors le polynôme <math>P_1Q_2-P_2Q_1</math> s'annule sur cet ensemble donc il est nul, si bien que <math>R_1=R_2</math>.
##Rectifier l'énoncé.
#<math>h(z)=\frac{az+b}{cz+d}</math> avec <math>ad-bc\ne0</math> et sans perte de généralité, <math>c=0</math> ou <math>1</math>.
#*Si <math>c=0</math>, <math>h(z)=\frac{az+b}d</math> (avec <math>ad\ne0</math>) vérifie <math>(*)</math> si et seulement si <math>b=0</math> et <math>|a|=|d|</math>, [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] s'il existe <math>\alpha\in\R</math> tel que <math>h(z)=\operatorname e^{\mathrm i\alpha}\varphi_0(z)</math> pour tout <math>z\in\overline\C</math>.
#*Si <math>c=1</math>, <math>h(z)=\frac{az+b}{z+d}</math> (avec <math>b\ne ad</math>) vérifie <math>(*)</math> si et seulement si <math>d=\bar ab</math> et <math>|b|=1</math>, c.-à-d. s'il existe <math>\alpha\in\R</math> et <math>e\in\overline\C^*</math> tels que <math>h(z)=\operatorname e^{\mathrm i\alpha}\varphi_e(z)</math> pour tout <math>z\in\overline\C</math>.
#Pour <math>|z|=1</math>, <math>1/\bar z=z</math> et comme <math>|R(z)|=1</math>, on a de même <math>\frac1{\overline R(z)}=R(z)</math>, si bien que <math>S(z)=R(z)</math>. Par conséquent (d'après la question 1.2) <math>R=S</math>.
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##Immédiat d'après la question précédente.
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