« Fonctions d'une variable complexe/Exercices/Fonctions holomorphes » : différence entre les versions
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Ligne 61 :
##:<math>R(z)=\operatorname e^{\mathrm i\alpha}\prod_{k=1}^m\frac{z-a_k}{1-\overline{a_k}z},\quad\forall z\in\overline\C</math>
##:où <math>a_1,\dots,a_m</math> sont les zéros de <math>R</math> comptés avec leur multiplicité.
#Déterminer toutes les fractions rationnelles
{{Solution|contenu=
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Ligne 71 :
#Pour <math>|z|=1</math>, <math>1/\bar z=z</math> et comme <math>|R(z)|=1</math>, on a de même <math>\frac1{\overline R(z)}=R(z)</math>, si bien que <math>S(z)=R(z)</math>. Par conséquent (d'après la question 1.2) <math>R=S</math>.
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##Immédiat d'après la question précédente, et l'application <math>z\mapsto\frac1{\bar z}</math> est une {{w|Inversion (géométrie)#Dans le plan complexe|inversion}}.
##Soient <math>a_1,\dots,a_m</math> les zéros de <math>R</math>. D'après la sous-question précédente, <math>R(z)=\lambda\prod_{k=1}^m\frac{z-a_k}{z-1/\overline{a_k}}</math> pour un certain <math>\lambda\in\C</math>, ou encore : <math>R(z)=\mu\prod_{k=1}^m\frac{z-a_k}{1-\overline{a_k}z}</math> pour un certain <math>\mu\in\C</math>. De plus, pour tout <math>z\in\C</math> de module <math>1</math>, on a <math>1=|R(z)|=|\mu|\prod_{k=1}^m|\varphi_a(z)|=|\mu|</math>.
#Les fractions rationnelles qui vérifient <math>(*)</math> sont donc celles ci-dessus et leurs produits par <math>\varphi_\infty</math> et ses puissances.
}}
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